の統合 $\frac{1}{x(x+1)(x+2)…(x+m)}$ [複製]

Nov 20 2020

私はこの質問に出くわしました、 $$\int \frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} dx$$

有理関数を部分分数に分割しようとしました $$ \frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+2}+...+\frac{Z}{x+m}$$ ここから先に進む方法がよくわかりません。

誰かが段階的な説明で私を教えてくれますか?特定の手順をスキップすると、混乱しやすくなります。

回答

5 Quanto Nov 20 2020 at 22:52

注意 $$\frac{1}{x(x+1)(x+2)...(x+m)}=\sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k} $$ どこ $a_k$ 次のように取得されます \begin{align} a_k &=\lim_{x\to -k} \frac{x+k}{x(x+1)(x+2)...(x+k)...(x+m)}\\ &= \frac{1}{[(-k)(1-k)(2-k)(-2)(-1)]\cdot[(1)(2)...(m-k-1)(m-k)]}\\ &=\frac1{(-1)^k k!(m-k)!} \end{align} したがって、

$$\int \frac{dx}{x(x+1)(x+2)...(x+m)} =\int \sum_{k =0}^{m} \frac{a_k}{x+k}dx = \sum_{k =0}^{m} \frac{(-1)^k\ln|x+k|}{k!(m-k)!}+C $$