の特性（および最小）多項式が与えられると、 $T:V\to V$、いくつの異なるジョルダン標準形が可能ですか？
特性と最小多項式を考慮して、線形演算子の可能なジョルダン形式を決定することに関するいくつかの日常的な問題を解決していましたが、興味深い考えが思い浮かびました！そこにいるすべての組み合わせ論愛好家は一見する必要があります。
の特性多項式を考えると、ジョルダン標準形の数についてコメントする方法はありますか？ $T:V\to V$？
まあ言ってみれば $$p_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$$
の特性多項式です $T:V\to V$。この多項式に対応するジョルダン標準形の数を記述するための閉じた形式の解はありますか？2つのジョルダン形式は、同じジョルダンブロック（任意の順列）で構成されている場合、同じと見なされます。
の最小多項式も与えられた場合はどうなりますか$T$、すなわち $m_T(t)?$ $$m_T(t) = \prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$$ どこ $1\leq m_i\leq n_i$ すべてのために $i=1,2,...,k$
より多くの制約を課したので、答えは間違いなく減少しますが、どれくらいですか？正確には何番ですか？
以下のアイデアは、答えを決定する上で非常に重要だと思いますが、それらを使用して具体的な何かを完全に理解することはできませんでした。
- 対応するすべてのジョルダンブロックのサイズの合計 $\lambda$ の多重度に等しい $\lambda$ に $p_T(t)$。
- 対応する最大のジョルダンブロックのサイズ $\lambda$ の多重度に等しい $\lambda$ に $m_T(t)$。
ありがとう、そして私は興味深い議論を楽しみにしています！
回答
最後に観察したこと以上に言えることはありません。合計がである正の整数の多重集合$n$呼ばれているパーティションの$n$、およびそのようなパーティションの数は一般的に書かれています $p(n)$。したがって、特性多項式を持つジョルダン標準形$\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{n_i}$ のパーティションで構成されています $n_i$ それぞれについて $i$、だからそれらの数は $$\prod_{i=1}^kp(n_i).$$ ただし、既知の閉じた形はありません $p(n)$ （そしてその場合 $k=1$、あなたの問題は、のための閉じた形を見つけることと同等です $p(n)$）。
同様に、のパーティションの数 $n$ 最大の部分が $m$ 次のように書くことができます $p_m(n)$、したがって、最小多項式がさらに必要な場合は、 $\prod_{i=1}^k(t-\lambda_i)^{m_i}$ そのようなジョルダン標準形の数は $$\prod_{i=1}^kp_{m_i}(n_i).$$ 繰り返しになりますが、既知の閉じた形はありません $p_m(n)$。