のどの値に対して $\alpha$ は{ $z_n$}有界シーケンス?

Aug 16 2020

どこ $\alpha$ は実定数です。シーケンス{を考えてみましょう。$z_n$} によって定義されます $z_n=\frac{1}{n^\alpha}$。のどの値に対して$\alpha$ は{$z_n$}有界シーケンス?

この種の質問から始めるにはどうすればよいですか?私はそう思います$\forall\space \alpha\in\Bbb{R}_{\geq0}$ シーケンスは収束しているため、制限されていますが、どのように書き出すのですか?

回答

1 Zuy Aug 16 2020 at 17:30

場合 $\alpha=0$$(z_n)$ は一定であるため、制限されます。

場合 $\alpha>0$$(z_n)$ 0に収束するため、制限されます。

場合 $\alpha<0$$(z_n)$ に分岐します $+\infty$ したがって、制限はありません。

1 BenGrossmann Aug 16 2020 at 17:32

コメントで述べているように、あなたには正しい答えがあります。残っている唯一のタスクは、答えの正式な説明をすることです。答えを書く1つの方法は次のとおりです。

まず、関数が $f: \Bbb [1,\infty) \to \Bbb R$ によって定義されます $f(x) = x^{\beta}$ 満たす $$ \lim_{x \to \infty}f(x) = \begin{cases} 0 & \beta < 0\\ 1 & \beta = 0\\ \infty & \beta > 0. \end{cases} $$ この声明を正式に証明する必要はないと思います。教科書に参照できる声明がある可能性があります。

それが確立されたら、で問題に対処します $3$ 場合:その場合 $\alpha < 0$、上記の事実を使用して結論を​​下す $\lim_{n \to \infty} z_n = \infty$、これは、シーケンスが制限されていないことを意味します。その場合$\alpha = 0$、結論 $z_n \to 0$、これは、シーケンスが収束しているため、制限されていることを意味します。同様に、$\alpha > 0$、結論 $z_n \to 0$、これは、シーケンスが収束しているため、制限されていることを意味します。

したがって、シーケンスは、次の場合にのみ有界であると結論付けます。 $\alpha \geq 0$