大きな直線束の乗算マップ
では代数多様体の双有理幾何学、直線束のために（67ページ）、「大であることが、本質的に十分であることの双有理バージョンである」というコラーと森の書き込み。直線束を思い出してください$L$ 射影多様体について $X$ 寸法の $d$ある大きな場合
$$ \limsup_{n \to \infty } \dfrac{H^0(X,L^n)}{n^d} \neq 0.$$
言い換えれば、グローバルセクションのスペースの成長率は可能な限り大きいです。大きな直線束は、豊富な直線束に類似した動作を示す傾向があります。いくつか例を挙げます。以下では、$X$ 複素数を超えて多様になりましょう $L$ 上の直線束になる $X$。
- 仮定します $X$正常です。場合$L$ 十分な力があります $L$射影空間への埋め込みを定義します。同様に、$L$ 大きいです、いくつかの力 $L$ マップを定義します
$$ \varphi_m: X \dashrightarrow H^0(X,L^m)$$
それはそのイメージに双有理です（代数幾何学Iの陽性、 139ページ）。
- 場合 $L$ 十分な力があります $L$グローバルに生成されます。一方、$L$ 大きいです、いくつかの正の力 $L$一般的にグローバルに生成されます。つまり、自然な地図
$$ H^0(X,L^m) \otimes \mathcal{O}_{X} \rightarrow L^m$$
一般的に全射です（代数幾何学Iの陽性、 141ページ）。
さて、私の質問にたどり着くために、 $L$ 十分で、自然数が存在します $m$ 乗算マップが
$$ H^0(X,L^a) \otimes H^0(X,L^b) \rightarrow H^0(X,L^{a+b}) $$
全射 $a,b \geq m$（代数幾何学Iの陽性、 32ページ）。
質問：大きな直線束には、乗算マップの全射性に類似した特性がありますか？
この特性がどうあるべきかは私にはわかりませんが、これらの乗算マップが最終的に何らかの適切な意味で上位になることを願っています。
回答
場合 $R(L)=\oplus H^0(mL)$ は有限生成ではなく、上記の全射は失敗しますが、大きな直線束に対して「漸近的に」保持されます。 $L$。実際、藤田の大きなクラスの近似（例えば、ラザースフェルドの正の本の定理11.4.4を参照）によって、$\epsilon >0$ 双有理修正があります $f:X'\to X$ そのような $f^*L=A+E$ どこ $A$ 十分です $\mathbb Q$-除数と $E$ 効果的です $\mathbb Q$-そのような除数 ${\rm vol}(A)>{\rm vol}(L)-\epsilon$。したがって、十分な場合によって、$m>0$ そのような $H^0(aA)\otimes H^0(bA)\to H^0((a+b)A)$ すべての人に全射 $a,b\geq m$ 十分に分割可能（ $aA$ そして $bA$カルティエです）。以来$f_*\mathcal O _{X'}(aA)\subset \mathcal O _X(aL)$、 $$V_{a,b}={\rm Im} \left( H^0(aL)\otimes H^0(bL)\to H^0((a+b)L))\right),$$ その後 $\dim V_{a,b}/h^0((a+b)L)>(1-\epsilon)$ ために $m\gg 0$。