パーセバル-プランシュレルのアイデンティティを使用して積分を解くことができるのはいつですか?

Aug 16 2020

積分は次の形式です $\int_{-\infty}^\infty \sigma(x)\mu(x)\,\mathrm{d}x$。ここで、のフーリエ変換$\sigma$ 機能は $\tilde \sigma(p)= e^{-iap}\frac{1}{1+e^{-c|p|}}$ と機能 $\mu(x)$ によって与えられます $\mu(x)=-2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x-2}{c}\right)$

のフーリエ変換 $\mu(x)$ 非常に簡単に見つけることができます $\tilde \mu(p)=\frac{e^{-i p} \left(2 i \pi e^{-\frac{c | p| }{2}}\right)}{p}$

質問は:

パーセバル-プランシュレルのアイデンティティを使用して、上記の積分を次のように書くことは可能ですか? $\frac{1}{2 \pi}\int_{-\infty}^\infty \tilde\sigma(p)\tilde \mu(p)\,\mathrm{d}p$

もしそうなら、上記の積分は次のようになります $\frac{i}{2}\int_{-\infty}^\infty dp \frac{ e^{-i (a+1) p} \text{sech}\left(\frac{c p}{2}\right)}{p}$

これはのフーリエ変換のように見えます $\frac{sech(\frac{cp}{2})}{p}$関数。このフーリエ変換はどのように計算されますか?

回答

2 PradipKattel Aug 17 2020 at 08:41

のフーリエ変換のアイデンティティを思い出してください $K(x)=\text{sech}(x)$ です $\tilde K(p)=\pi \text{sech}\left(\frac{\pi p}{2}\right)$

このアイデンティティを使用して、のフーリエ変換 $\frac{\text{sech} {x}}{x}$ 簡単に計算できます

\ begin {equation} \ int _ {-\ infty} ^ {-\ infty} e ^ {-ixp} \ frac {\ text {sech} {x}} {x} \、\ mathrm {d} x = -i \ int \ pi \ text {sech} \ left(\ frac {\ pi p} {2} \ right)\ mathrm {d} p = -2 i \ tan ^ {-1} \ left(\ sinh \ left( \ frac {\ pi p} {2} \ right)\ right)\ label {ident} \ end {equation}

この関係式を使用すると、与えられた積分を簡単に積分できます。

\ begin {equation} \ frac {i} {2} \ int _ {-\ infty} ^ \ infty dp \ frac {e ^ {-i(a + 1)p} \ text {sech} \ left(\ frac { cp} {2} \ right)} {p} = \ tan ^ {-1} \ left(\ sinh \ left(\ frac {\ pi(\ Lambda_h + 1)} {| c |} \ right)\ right )\ label {rest} \ end {equation}

答えを数値で確認します。プロット:定数 プロット定数c