パラメトリック方程式を暗黙の方程式に変換する方法は？

Question

Q：

与えられた
$x = \sin(t)$
$y = \cos(t)$
この方程式の暗黙の形式は何ですか？

私の解決の試み：

$x = \sin (t)$
$t = \sin^{-1} (x)$
yへの代入：
$y = \cos(\sin^{-1}x)$

そして、私はここで立ち往生しています...

この質問を理解するために、私は質問を分解し、desmosを使用してこの質問をプロットしました。desmosグラフリンク。

私はそれを次のように見ることができます $t$増減すると、円のように回ります。しかし、私の最後の方程式$y = \cos(\sin^{-1}x)$ 半円を描くだけなので、私の答えは間違いなく間違っています。

誰かが私の間違いがどこにあったかを説明し、この質問をどのように解決するかを教えてもらえますか？ありがとう！

Answer 1

ヒント：両方の方程式を二乗して $x^2 = \sin^2(t)$ そして $y^2 = \cos^2(t)$、次に追加して取得します $x^2+y^2 = \sin^2(t)+\cos^2(t)$。ピタゴラスの定理により、$\sin^2(t) + \cos^2(t) = ?$

Answer 2

一般に、次の形式の2つのパラメトリック方程式の場合 $$x=a\sin\theta+b, y=a\cos\theta+c$$ 我々は持っています $$\sin\theta=\frac{x-b}{a},\cos\theta=\frac{y-c}{a}$$ アイデンティティの使用 $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$、 我々は持っています $$\big(\frac{x-b}{a})^2+\big(\frac{y-c}{a})^2=1$$ そして $$(x-b)^2+(y-c)^2=a^2$$ サークルウィットセンターです $(b,c)$ と半径 $a$。明らかに、もしそうなら、同じ方法を適用することができます$y=a\sin\theta+b$ですから、注意すべきことは、 $\sin\theta$ そして $\cos\theta$同じです。そうである場合、曲線は円です。

Answer 3

三角関数のパラメトリック方程式では、三角関数のアイデンティティについて考える必要があります。三角関数の恒等式を使用する$\sin^{2}(\theta) + \cos^{2}(\theta) = 1$、あなたはあなたの方程式の両方を二乗することができます $x$ そして $y$。次に、これを今述べたアイデンティティに置き換えることができます。

$$\sin^{2}(t) + \cos^{2}(t) = x^2 + y^2 = 1$$

ご覧のとおり、暗黙の形式は $x^2 + y^2 = 1$。

Answer 4

あなたの関係 $t=\sin^{-1}(x)$ のみ有効です $t\in[-\pi/2,\pi/2],$ の定義を考えると $\sin^{-1}$。次に、それを考えると$\cos(t)\geq0$ その間隔で、 $$ y=\cos(t)=\cos(\sin^{-1}(x))=\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}(x))}=\sqrt{1-x^2}, $$ それは半円の一部です $$ x^2+y^2=1,\ y\geq0\qquad\implies\qquad y=+\sqrt{1-x^2}. $$ 設定した場合 $t=\pi-\sin^{-1}(x),$ それはの別の解決策です $x=\sin(t),$ に有効 $t\in[\pi/2,3\pi/2],$ どこ $\cos(t)\leq0,$ $$ y=\cos(t)=\cos(\pi-\sin^{-1}(x))=-\cos(\sin^{-1}(x))=-\sqrt{1-\sin^2(\sin^{-1}(x))}=-\sqrt{1-x^2}, $$ それは他の半円の一部です $$ x^2+y^2=1,\ y\leq0\qquad\implies\qquad y=-\sqrt{1-x^2}. $$