$\pi_1(\text{P}^2(\mathbb{R}))$ と乗算 $2$
実射影平面の基本群を計算したい $\text{P}^2(\mathbb{R})$ SVK定理を使用します。
この目的のために、私はモデル化することを選択します $\text{P}^2(\mathbb{R})\simeq D^2/{\sim} $ 単位円板として $\{x:\|x\|\leq 1\}$ に $\mathbb{R}^2$ 境界上にある対蹠点を特定することによって指数化されます。
私は取る
- $A= \text{P}^2(\mathbb{R})-\{y\} $
- $B= \text{P}^2(\mathbb{R})-\partial$、 どこ $\partial=\{x:\|x\|=1\}$
- $A\cap B$
これらはすべてパス接続されています。
ここで、ポイントを修正します $x_0 \in A\cap B.$
$A$ 変形により収縮することができます $S^1$、 そのため $A \approx S^1$ そして $\pi_1(S^1)\simeq \mathbb{Z}.$ 撤回 $r_A:A \to S^1$ 同型を誘発する $\pi_1(A,x_0)\simeq\pi_1(S^1,r_A(x_0)) \simeq \mathbb{Z}$ これはによって与えられます $[\lambda]_A \mapsto [r_A \circ \lambda]_{S^1}$ すべてのループに対して $\lambda$ に $A.$
電話したら $c$ 対応するループ $1 \in \mathbb{Z}$ 同型の下で、私は平等を持っています $\pi_1(S^1,r_A(x_0)) = \langle c | \emptyset \rangle $; 変形、パスを与える$h :t \mapsto h(t)=H(x_0,t)$ から $x_0$ に $r(x_0),$ プレゼンテーションも行います $\pi_1(A, x_0) = \langle hch^{-1},\emptyset \rangle $、ここで、ジェネレーターをエンドポイントを持つループとして見ることができます $x_0$ の代わりに $r(x_0).$
一方、 $B$ に契約することができます $\{x_0\},$ そう $$\pi_1(B,x_0) \simeq \pi_1(\{x_0\},x_0)=\{x_0\} \simeq \{\text{id}\}= \langle \emptyset | \emptyset \rangle.$$
最後に、別のサークルを選択します $S^1_{x_0}$ 通過する $x_0$、撤回します $A \cap B$ それに $$\pi_1(A\cap B, x_0)\simeq \pi_1(S^1_{x_0},x_0)= \langle \gamma| \emptyset \rangle.$$
インクルージョン $A \cap B \subset B$ 射を誘発する $b_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(B,x_0)$ これは、すべてを一定のパスに送信する簡単なマップにしかなり得ません。 $x_0.$
次に、包含 $A \cap B \subset A$ 群の射を誘発する $a_*:\pi_1(A\cap B,x_0) \to \pi_1(A,x_0)$ によって与えられた $[\ell]_{A\cap B} \mapsto [\ell]_A$ すべてのループに対して $\ell$ に $A \cap B$ エンドポイント付き $x_0.$
その地図を証明する方法を理解したい $a_*$ 上で定義したように、2を掛ける必要があります $- \cdot 2: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$
回答
モルフィズム $a_*$ ループを取ります $[\ell]_{A\cap B}=\gamma^n \in \pi_1(A\cap B,x_0)$ の対応するループに送信します $\pi_1(A,x_0),$ これは、マップが包含によって誘導されるため、 $[\ell]_A$、（すなわち $\ell$ モジュロホモトピー $A$）。
今、私たちは見る $[\ell]_A$ 内部 $\pi_1(S^1,r_A(x_0))$ 同型写像を通して $[\ell]_A \mapsto [r_A \circ \ell]_{S^1}$、そして私たちは $[r_A \circ \ell]_{S^1}=c^{2n},$ 境界上で対蹠点が識別されるため、外部円を2回周回します。 $[r_A \circ \ell (1/2)]=[-r(x_0)]=[r(x_0)]$ （ここで、同値類は $S^1$）。
に引き戻す $\pi_1(A,x_0)$ 我々が得る $[\ell]_A=[hc^{2n}h^{-1}=(hch^{-1})^{2n}]_A$ そして、私たちは結論を下します。
しましょう $i:S^1\to D^2$ 境界を含めることと $p:D^2\to P^2(\mathbb R)$ 正規の投影。
特に、 $p\circ i: S^1\to P^2(\mathbb R)$ を介して要因 $\partial$ （したがって、 $A$、しかし包含 $\partial \to A$ホモトピー同値です）; 電話しましょう$\alpha :S^1\to\partial$ 取得したマップ。
私達はことを知っています $\partial \cong S^1$、つまりマップとは $\alpha_* : \mathbb Z\to \mathbb Z$ ？
さて、あなたは次の可換図式を持っています：
$\require{AMScd}\begin{CD}S^1@>>> S^2 \\ @VVV @VVV \\ \partial @>>> P^2(\mathbb R)\end{CD}$
ここで地図 $\partial \to P^2(\mathbb R)$包含です。私たちが特定した場合$\partial \cong S^1$、 地図 $S^1\to S^1$ 単に $z\mapsto z^2$：それはあなたが行うことができる明示的な計算です。おそらく、実際に定義する方が簡単です$\partial$ そのようにして、同じものが得られることを確認します。
それがあなたにははっきりしなかった要点かもしれないと思うので、それでもはっきりしない場合は、遠慮なく教えてください。
特に、 $\alpha_*=$ による乗算 $2$。
だけでなく、 $i$ を含めることとホモトピーです $S^1$ の小さな円で $D^2$、 したがって $p\circ i$ 同相写像と同所性 $S^1\to S^1_{x_0}$。
したがって、次のホモトピー可換図式があります。
$\begin{CD} S^1 @>>> S^1_{x_0} @>\simeq>> A\cap B \\ @V=VV & & @VVV \\ S^1 @>>> \partial @>\simeq>> A \end{CD}$
取る $\pi_1$、以来 $\pi_1(S^1)\to \pi_1(S^1_{x_0})$ 同型であり、 $\pi_1(S^1)\to \pi_1(\partial)$ による乗算です $2$、ついにそれを得る $\pi_1(A\cap B)\to \pi_1(A)$ による乗算です $2$。
（技術的には、ベースポイントについて心配する必要があるかもしれません。ここでこれに対処するには、少なくとも2つの方法があります。1-関係するすべての基本群がアーベル群であるため、何も変わらないことに注意してください。または2-同じ推論を行います。しかし、基本的な亜群を使用し、最終的にはパッチを適用します）
基本的な考え方は以下の通りですが、あなたと同じような証明をするつもりですので、ご容赦ください。
あなたがしたように、射影平面を考えてください $X$ とポイントを取る $x_0$初期化。次に$U = X\smallsetminus x_0$ 変形は球に後退します。
小さなボールを取る $V$ 周り $x_0$、 そのため $V\cap U$ また、変形は球に収縮します。
今のために $V\cap U$、境界点は特定されていませんが、 $U$、境界球で、それらを識別します。これにより、可換図式を作成できるという次の結果が得られます。
$$\require{AMScd} \begin{CD} U\cap V @>{\pi}>> S^1\\ @VVV @VVV \\ U @>{\pi}>>S^1 \end{CD}$$
ここで、垂直マップは次数です $2$。基本的に、生成ループを送信します$U\cap V$その風に一度風になる1の境界付近の二倍の周りの境界線を$U$、そこに対蹠点が特定されているので。
追加。より正確にしたい場合は、次の生成ループに注意してください。$U$ から行く半月を描く単位円板のループと見なすことができます $-1$ に $1$ ほぼ直線で原点を失い、次に円弧を通過します。これにより、生成ループが $U\cap V$ の前のループの2倍を表します $U$。