ポリアコフの3DコンパクトQEDにおけるフラックスの量子化
彼の著書「GaugeFieldsand Strings」で、ポリアコフは3Dユークリッド空間の立方格子上のコンパクトなQEDを次のように紹介しています。 $$ S\left[ \left\{ A_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}}\right\} \right]=\frac{1}{2g^2}\sum_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha},\mathbf{\beta}}(1-\cos{F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}}) $$
どこ $F$ は、格子ベクトルにまたがるプラケットを通過する正味フラックスです。 $\mathbf{\alpha}$ そして $\beta$ ポイントで $\mathbf{r}$ そしてによって与えられます： $$ F_{\mathbf{r},\mathbf{\alpha}\mathbf{\beta}}=A_{r,\alpha}+A_{r+\alpha,\beta}-A_{r,\beta}-A_{r+\beta,\alpha}$$ 直感的にどちらがカールですか $A$プラケットの周り。ゲージ変換は次のように定義されます。$$ A_{r,\alpha}\to A_{r,\alpha}-\phi_{r}+\phi_{r+\alpha} $$その下では、アクションは不変です。明らかな結果の1つは、閉じたガウス面を通過する全フラックスがゼロであることです。これは次の理由で当てはまります。$$\sum_{p\in cube} F_p=0$$各リンクの各ゲージフィールドは、上記の合計で異なる符号で2回表示されます。したがって、このシステムに単極子を含めることは不可能です。ただし、立方体の5つの面を通る磁束が同じ符号を持ち、一方の面が負の符号の正味の磁束を持ち、総磁束がゼロのままであると仮定して構築できるディラック単極子を除きます。 。
しかし、その後、彼（Polyakov）は、このフラックス（立方体の面の1つのみを通過する）が量子化されると述べています。これを証明する方法がわかりません。特異なゲージ変換が必要であり（ 't Hooftの論文によると）、ゲージ場を別の（おそらく物質）場に結合する必要があるようですが、その変換を格子モデルに実装する方法が見つかりません。なぜカップルする必要があるのかと尋ねる人もいるかもしれません$A$別の自由度に。この点はここでも言及されています：https://physics.stackexchange.com/a/202806/90744 再び証拠なしで。
この本は、元のアクションと同等であると主張されている別のアクションを使用しています。 $$ S=\frac{1}{4g^2}\sum_{r,\alpha,\beta}(F_{r,\alpha \beta}- 2\pi n_{r,\alpha \beta})^2 $$ どこ $n$整数値のフィールドです。このアクションは一般に、元のアクションと同等ではありません。ここでは、の非周期性からの逸脱を許可しているためです。$A$ 貢献するため、私たちはそれを小さなものでしか使用できません $g$ 制限。
回答
さて、質問に関しては、ストークスの定理の離散バージョンから従う必要があります。立方体を考えてみましょう。ゼロ以外のフラックスが立方体を貫通している場合、ゲージポテンシャルをグローバルに割り当てることはできません。$A_\mu$、ローカルでのみ、特定のチャートで。立方体を2つのグラフに分割し、少なくとも赤道上で重なります。
北半球と南半球。ストークスの定理によると、淡い赤色の表面を通るフラックスは、$A_\mu$ 赤道周辺： $$ \int_{U_N} F d S= \sum_{i \in s} F_i S_i = \oint A_\mu dx^{\mu} = \sum_{i \in l} A_i l_i $$ どこ $s$ -チャート内のすべてのサーフェスを示し、 $l$ -赤道上の線分、および $S_i$ -表面の面積、 $l_i$-セグメントの長さ。積分赤道では、ストークスの定理で積分することを選択できます。$U_N$ そして $U_S$、および結果は、物理的な観点から、表面の選択に依存するべきではありません。
点粒子の作用の電磁部分は次のとおりです。 $$ S = \oint A_\mu d x^{\mu} $$ 点粒子の作用は、次のように経路積分に入ります。 $e^{i S}$ したがって、 $e^{i S}$ 単一値であるためには、北半球と南半球のフラックスは次の条件を満たす必要があります。 $$ \int _{U_N} F = - \int _{U_S} F + 2 \pi n \qquad n \in \mathbb{Z} \qquad \Rightarrow \qquad \int _{U_N \cup U_S} F = 2 \pi n $$
このロジックは厳密さを欠いていますが、ある程度の直感を提供する可能性があります。単極子は古典的な解であることに注意できるもう1つのポイントは、作用の最小値であり、作用から、次のことがわかります。$$ \cos F_{r, \alpha \beta} = 1 \Rightarrow F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n, n \in \mathbb{Z} $$ したがって、すべての面の合計が量子化されます。
投稿の最後に書いたアクションは、元のアクションの悪役またはガウス近似であり、ゲージ場の変動が最小値に近いことを前提としています。$F_{r, \alpha \beta} = 2 \pi n$、およびコサインを2次に展開することによって得られます。 $$ 1 - \cos F_{r, \alpha \beta} = \frac{1}{2} (F_{r, \alpha \beta} - 2 \pi n_{r, \alpha \beta})^2 $$