p進数の代数的数は何ですか？

Question

「与えられた $p$、の要素は何ですか $\mathbb{Q}_p$ 代数的 $\mathbb{Q}$？」

私は定期的にこれを疑問に思い、同じことを求めているように見えるこのmathoverflowの質問に出くわします。選択した答えは（私が見ることができる）その質問に答えていないようで、「p進代数的数」をグーグルで検索すると、その質問が最上位の結果として返されます。その時点で私はあきらめて、忘れて再試行するまで待ちます。だから今回は尋ねます：

の（より便利な）特性を知っていますか $\overline{\mathbb{Q}}\cap\mathbb{Q}_p$ または「$p$-代数的数？」

「実数」よりも「実数」の方がはるかに満足できる特性があるかどうかはわかりませんが、p進数の絶対値は本質的に実数よりも「代数的」であり、次のような違いがあります。 $p$ 変化するので、それらは何ですか？

Answer 1

しましょう $O_\overline{\Bbb{Q}}$ 代数的整数であり、いくつかの極大イデアルを取る $\mathfrak{P}\subset O_\overline{\Bbb{Q}}$ 含む $p$、しましょう $G=\{ \sigma\in Gal(\overline{\Bbb{Q}}/\Bbb{Q}), \sigma(\mathfrak{P})=\mathfrak{P}\}$、その後 $G\cong Gal(\overline{\Bbb{Q}}_p/\Bbb{Q}_p)$ そして $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ のサブフィールドは（同型）です $\overline{\Bbb{Q}}$ によって修正されました $G$。

同等に、 $S$ （無限度の）代数拡大の集合である $K/\Bbb{Q}$ いくつかの最大の理想 $\mathfrak{p}\subset O_K$ そのようなものです $O_K/\mathfrak{p}\cong \Bbb{Z}/p\Bbb{Z},p\not \in \mathfrak{p}^2$。次に$\Bbb{Z}_p$ の完了と（同型）です $O_K$ で $\mathfrak{p}$、および $\Bbb{Q}_p\cap \overline{\Bbb{Q}}$ の最大要素と（同型） $S$。