プリズム派生のボリューム

Question

プリズムの体積の公式をどのように正当化するかを形式化する方法があるかどうか疑問に思いました。

与えられたプリズムの場合、その体積は、その断面積にプリズムの長さを掛けたもので与えられます。

プリズムは、その長さ全体にわたって断面の非常に多くの小さなスライスから作られていると想像できるので、これは直感的にわかります。

しかし、これを形式化する方法があるかどうか疑問に思っていますか？

さらに、円柱はプリズムではないと言われています。ただし、そのボリュームの式（$\pi r^2 \times h$）は、断面の同じ面積に長さを掛けたものです。これには何か理由がありますか？

Answer 1

1. 側面のある箱のボリュームを自分に納得させます $a,b,c$ です $abc$。
2. 次に、サイズの正方形を持つことを考えてください $1$ とエリア $1 \cdot 1$ 高さを超えて伸ばすことで箱になります $h$。結果のボックスにはボリュームが必要です$1\cdot 1 \cdot h$、上記（1）を使用します。
3. 次に、元の正方形をプリズムのベースに合うように再スケーリングすることを検討してください。結果の領域が次のようになるようにスケーリングする必要があります$A$、ベースの面積です。これは、次の係数でスケーリングします$A$、したがって、高さが同じに保たれるため、結果のボリュームは同じ係数でスケーリングする必要があります。つまり、最終的なボリュームは$A\cdot h$。