ランベルトのW関数を使用してこの方程式を解くことは可能ですか?

Aug 16 2020

学校のプロジェクトに取り組んでいるときに、解く必要のある方程式に出くわしました。ランバートを使ってみました$W$次の方程式を解くための関数ですが、私は成功していません。解決することさえ可能ですか?$x$ 数値的方法なし?

$$ ax+(bx-c)e^{kx}=d $$

回答

RobertIsrael Aug 16 2020 at 23:18

ランベルトWを使用してこれを一般的に解決することは不可能のようです。 $a$ または $b$ だった $0$

パラメータの1つが小さいと見なすことができる場合は、直列解を試すことができます。したがって、の力のシリーズ$k$ です

$$ x = {\frac {c+d}{a+b}}+{\frac { \left( c+d \right) \left( ac-db \right) }{ \left( a+b \right) ^{3}}}k+{\frac { \left( c+d \right) \left( 3\,a c+ad-bc-3\,db \right) \left( ac-db \right) }{2\, \left( a+b \right) ^ {5}}}{k}^{2}+\ldots $$

ClaudeLeibovici Aug 17 2020 at 12:24

正式な観点から、あなたはそれを行うことができます。

方程式を次のように書き直します $$e^{-kx}=-\frac ba \,\,\frac{x-\frac{b}{c}} {x-\frac{d}{a} }$$これは、一般化されたランベルト関数の観点から解決策があります。

方程式を見てください $(4)$ リンクされた論文で。

これは素晴らしいですが、実用的な観点からはあまり役に立ちません。

数値的方法が必要になるため、関数のゼロを見つけるために推定する必要があります

$$f(x)=ax+(bx-c)e^{kx}-d$$。一次導関数は$$f'(x)=a+e^{k x} (b k x+b-c k)$$ でキャンセルします $$x_*=\frac{W\left(t\right)}{k}+\frac{c}{b}-\frac{1}{k}\qquad \text{where} \qquad t=-\frac{a }{b}e^{1-\frac{c k}{b}}$$ 場合 $x_*$存在する場合は、この点の周りでテイラー展開を実行して、推定値を取得します $$x_0=x_* \pm \sqrt{-2 \frac {f(x_*)}{f''(x_*)}}$$

で試してみましょう $a=1$$b=2$$c=3$$d=4$$k=5$

これは $$x_*=\frac{1}{10} \left(2 W\left(-\frac{1}{2 e^{13/2}}\right)+13\right)\approx 1.29985$$

次に $x_0=1.58434$ 正確な解決策は $x=1.50069$

私たちが持っているので $x_0$、ニュートン法の反復を見てみましょう。かれらは〜だろう$$\left( \begin{array}{cc} n & x_n \\ 0 & 1.58434 \\ 1 & 1.52533 \\ 2 & 1.50339 \\ 3 & 1.50072 \\ 4 & 1.50069 \end{array} \right)$$