ランクの小さい実質的に大きなグループ（3次元多様体に関連）
3次元多様体グループの理由を探しています $G$ それは事実上です $\mathbb{Z}\times F$、 $F$非環状無料またはいずれかの表面基、2つの発電機についてのプレゼンテーションを認めていません。
これらは、閉じた3次元多様体の基本群です。 $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 幾何学（上記の取り消し線の場合は空でない境界に対応することを指摘してくれた@HJRWに感謝します）、そして他のすべての幾何学はランク2の基本群を持つ例を認め、すべての基本的なユークリッド幾何学の顕著なハイライトがあることがわかりますグループは事実上 $\mathbb{Z}^3$（そして、フィボナッチ多様体である2つの例をランク付けします）。したがって、3次元多様体グループは、それ自体が小さいランクであるにもかかわらず、事実上高いランクのグループの例を認めています。もちろん、2つの生成元の自由群が事実上任意に高いランクであることはよく知られています。
ただし、Boileau＆Zieschang、定理1.1によると、$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ 多様体は、ベース表面の属とSeifertファイブレーションの特異繊維の数に依存するため（少なくとも3つ）、事実上 $\mathbb{Z}\times F$ グループを少なくとも同じランクにするように強制します。
このサブグループがアンビエントグループのランクを下から制限し、たとえば、自由群またはアーベル自由群を制限する原因は何ですか？ $\mathbb{Z}^3$しない？ここで幾何学的な3次元の理由があれば嬉しいですが、私の一般的な群論も更新していただければ幸いです。
回答
この質問は、BoileauとZieschangによる論文の定理1.1の誤解から生じています。定理1.1はかなりの数のケースを除外し、特に、3つの単数繊維と属0のベースを持つ（完全に配向された）閉じたザイフェルト多様体には適用されません。これらの除外されたザイフェルト多様体のいくつかは、ランクに関するあなたの主張に対する反例を提供します$\ge 3$。
たとえば、外観を取る $N$ の $(p,q)$-自明ではなく、三つ葉ではないトーラス結び目。この結び目の属は$$ g=\frac{(p-1)(q-1)}{2}\ge 2 $$（属1の三つ葉を除外したため）。マニホールド$N$ は円上の曲面束であり、その繊維は $F$ 属の一度パンクした表面です $g$。このファイブレーションのモノドロミーは有限の位数です（実際には、位数は$pq$）同相写像 $h: F\to F$。したがって、の境界を折りたたむと$F$ つまり、閉じた表面が得られます $S$ 属の $g$ そして $h$ 有限位数の同相写像に投影されます $f: S\to S$。写像トーラス$M=M_f$ タイプのSeifert多様体です ${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$ の境界のDehn充填によって得られます $N$。Seifertファイブレーションのベースには、3つの特異点と属0があります。2つの特異繊維は$N$ 1つは、アタッチされたソリッドトーラスからのものです。 $\partial N$私たちのDehn充填の結果として。（双曲線曲面の有限位数同相写像の写像トーラスがタイプのSeifert多様体であることは一般的な事実です${\mathbb H}^2\times {\mathbb R}$。）グループ以来 $\pi_1(N)$ は2で生成され、商群 $\pi_1(M)$ また、2生成されます。