ラプラス変換：積分vs極-零点
ラプラス変換が次のように表される場合：
$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-st}dt $$
と：
$$s = \sigma + j\omega$$
そして $h(t)$ 次のように表されるインパルス応答：
$$h(t) = Ae^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t+\phi) = e^{-\sigma_0t}\cos(\omega_0t)$$ （（$A=1$ そして $\phi = 0$ 簡略化のために、 $h(t)=0$ もし $t<0$）
次に、の各垂直線（虚軸に平行） $s$ 平面はのフーリエ変換に対応します $f(t) = h(t)e^{-\sigma t}$ 固定用 $\sigma$。
にとって $\sigma = -\sigma_0$、の減衰指数 $h(t)$ がキャンセルされ、のフーリエ変換*が得られます。 $h(t) = \cos(\omega_0t)$、つまり：ディラック $\omega_0$ そして $-\omega_0$ （正確ではありません。すぐ下の（*）を参照してください）、したがって2つの極： $-\sigma_0 + j\omega_0$ そして $-\sigma_0 - j\omega_0$ 次の図のように（図のみ、極が正しく配置されていません）：
確かに、私たちはそれを理解することができます：
（*）以下は正確ではないことに注意してください：以来 $h(t) = 0$ もし $t<0$、両側ではなく、片側のラプラス変換を使用する必要があります。したがって、ここでは、両側（ディラックのみ）ではなく、正弦波の片側フーリエ変換を取得します。これがどうなるかを確認するには、受け入れられた回答の最後にあるリンクを参照してください
$$\int_{-\infty}^{+\infty} h(t)e^{-j\omega t}dt $$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\omega_0t)e^{-j\omega t}dt$$ $$= \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{e^{j\omega_0t}-e^{-j\omega_0t}}{2}e^{-j\omega t}dt$$ $$= \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty} e^{j(\omega_0-\omega)t}-e^{-j(\omega_0+\omega)t}dt$$
場合 $\omega = \omega_0$ または $-\omega_0$、その後、積分が原因で爆発します $$\int_{-\infty}^{+\infty} e^0dt $$ メンバー、したがって、s平面の極。
したがって、DSPの科学者およびエンジニアガイドのch.32、p.24 （下の図を参照）に示されているように、ラプラス変換を使用して乗算します。$h(t)$ と $e^{-st}$ = $e^{-\sigma}e^{-j\omega}$、つまり乗算します $h(t)$ 次のいずれかの正弦波を使用：
- （a）指数関数的に減衰する（$\sigma$ > 0）
- （b）安定している（$\sigma = 0$）
- （c）インパルス応答の減衰よりも指数関数的にゆっくりと成長する（$ -\sigma_0 < \sigma < 0$）
- （d）指数関数的に成長し、インパルス応答の減衰を補正します（$\sigma = -\sigma_0$）：OK、上記のように。
- （e）指数関数的に急速に成長する（$\sigma < - \sigma_0$ そして $\sigma < 0$）
（文字は、下の図に示されているs平面内の点のペアに対応し、常に固定されています $\omega$ または $-\omega$ 値）
ケースdを理解しました。指数部分をキャンセルするため、正弦波の（片側!!）フーリエ変換のみが得られます。つまり：無限で$\omega_0$ そして $-\omega_0$ したがって、極（私はなぜ私たちが無限の値を持つオメガの連続関数を持っているのか分かりませんが $\omega_0$ そして $-\omega_0$正弦波の元のフーリエ変換のようなディラックの代わりに->片側ラプラス、したがってフーリエを使用するため、受け入れられた答えの終わりを参照してください！）。
ケースa、c、eは直感的です。の場合、乗算します$h(t)$指数関数的に減衰します。積分はいくつかの有限の複素数値になります（のすべての値に対して$\sigma > 0$。ケースcの場合、の減衰指数よりもゆっくりと成長する指数を掛けます。$h(t)$、したがって、積分の有限の複素数値（のすべての値に対して $-\sigma_0 < \sigma < 0$）。eの場合、$h(t)$ の指数関数よりも速く成長する指数関数によって $h(t)$ 減衰：したがって、積分は収束しません（のすべての値に対して $\sigma < -\sigma_0$）。
しかし、ケースbの場合、曲線下面積（上の図の赤）で示されているように、積分がゼロになる理由を直感的に理解することはできませんか？言い換えれば、私はでs平面の垂直線を理解しています$\sigma = -\sigma_0$、それはのフーリエ変換です $h(t)e^{-\sigma_0 t}$ だからそれはのフーリエ変換です $h(t)$その指数成分が削除されると、正弦波のために2つの極になります。私たちはいつでもポールを手に入れます$e^{-st}$インパルス応答と同じ（補正）です。しかし、何がフーリエ変換を引き起こすのでしょうか$h(t)e^{-\sigma t}$ ある時点で0になる $\omega$？そのために$h(t)$ そしてそれが曲線下面積（積分）にどのように影響するか？
回答
使用しているラプラス変換の定義は、両側ラプラス変換と呼ばれ、片側ラプラス変換ほど一般的ではありません。2つの違いは、最初の積分限界の下限が$-\infty$ 一方、2番目の下限は $0$。検討中の信号がゼロの場合、この差は無関係になります。$t<0$。これは本の例の場合です。ただし、インパルス応答の両側ラプラス変換に注意してください。$h(t)$ あなたがあなたの質問で定義したことは、のどの値に対しても存在しません $s$。設定すれば存在します$h(t)$ ゼロに $t<0$ （つまり、単位ステップで乗算します $u(t)$）。
本の中の数字は、因果的ノッチフィルターを参照しています。そのインパルス応答のラプラス変換の収束領域（ROC）は、極の右側にあることに注意してください。その結果、ラプラス変換はの任意の固定値で評価されました$s$ROCの内側にいる、つまり積分が収束するという理由だけで、極の右側は有限になります。選択した場合$s$正確にフィルターのゼロで、ノッチ周波数でのフィルターの応答を評価します。ノッチ周波数は、単に「ノッチ周波数」の定義によってゼロでなければなりません。その周波数の信号に対するフィルターの応答はゼロでなければなりません。最後に、$s$ フィルタの極のちょうど左側または左側で、ROCの外側にあります。この場合、積分は収束しません。
元の投稿が更新され、積分が発散する理由、または有限の複素数値を持つ理由に関する情報が追加されました。
図32.5（元の質問）は、次のことを考慮すると理解できません（特に「b。正確なキャンセル」）。
$$ h(t) = e^{-\sigma_0t}\cos{\omega_0t} $$
（（$h(t) = 0$ にとって $t<0$）
$h(t)$図の 32-5は、単純な指数関数的に減衰する正弦波ではありません。そうである場合、元の質問で提起されたように、積分はsのどの値に対しても実際に0に等しくなりません。
代わりに、Matt L.が指摘したように、 $h(t)$ノッチフィルターのインパルス応答です。これは、積分が一部で0になる理由を理解するのにどのように役立ちますか$s$？さて、このインパルス応答には、ディラックが含まれているという特徴があります（また、指数関数的に減衰する正弦波の組み合わせもあります）。そして、fig.32-5に注意を払うと、このディラックは実際にインパルス応答に示されます（これは縦軸であると考えていませんでした...）。下の図を参照してください。
そして、指数関数的に減衰する正弦波成分の下の領域を補正するのは、このディラックの下の領域です。 $h(t)$ の適切な値について $s$、したがってゼロ！
これに関連する計算と、インパルス応答におけるディラックの物理的意味の両方の詳細な説明については、この質問に対する回答を参照してください。
別の質問は次のとおりでした：
（正弦波の元のフーリエ変換のようにディラックではなく、ω0と-ω0に無限の値を持つオメガの連続関数がある理由はわかりませんが）。
これは、二国間ではなく片側のラプラス変換があるためだと思います。実際、この例では、正弦波の片側フーリエ変換を参照してください。これは、正弦波に単位ステップ関数を掛けたようなものです。したがって、正弦波の片側フーリエ変換は、単位ステップ関数のフーリエ変換によって畳み込まれた正弦波のフーリエ変換です（詳細については、リンクを参照してください）。これが、特定の垂直スライスで（固定の場合）$\sigma$）の $s$ 平面では、通常のフーリエ変換は得られませんが、片側変換は少し異なります。