連鎖したサブセットのシーケンスで、交差が有限で空でないことを証明します

Question

見出しは単に簡略化されたバージョンです。現在、Understanding Analysisを読んでおり、予備知識に取り組んでいます。質問は：

場合 $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ すべて有限で空でない実数のセットであり、次に共通部分 $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ 有限で空ではありません。

この時点での本は正式に有限を定義していません。さらに、私の意見では、この本が提供する唯一のヒントは、次の質問です。

場合 $A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \supseteq A_4\cdots$ 無限の数の要素を含むすべてのセットであり、次に交差 $\bigcap_{n=1}^\infty A_n$ 同様に無限です。

この質問と前述の例を使用して、セットを定義することでこの問題を解決できます $A_i = \{i,i+1,i+2\dots\}\subseteq N$ そして矛盾による証明。

しかし、それに関しては $A_i$ 有限要素を含むので、今はどうすればいいのかわかりません

1. 定義により証明する
2. 背後にある直感を理解して、無限バージョンのような反例を見つけることができません

Answer 1

1つの方法は、正の整数の減少するシーケンス、この場合はセットのカーディナリティに注意することです。 $A_k$、最終的には一定でなければなりません。ために$k\in\Bbb Z^+$ しましょう $n_k=|A_k|$、の要素数 $A_k$; $n_k$は正の整数です。しましょう$N=\{n_k:k\in\Bbb Z^+\}$; $N$ は空でない正の整数のセットであるため、最小の要素を持ちます $m$。しましょう$\ell\in\Bbb Z^+$ そのようなこと $n_\ell=m$。

$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$、 そう $n_{\ell+1}\le n_\ell=m$。だが$m=\min N$、 そう $n_{\ell+1}\ge m$、 したがって $n_{\ell+1}=m$。したがって、$A_{\ell+1}\subseteq A_\ell$ そして $|A_{\ell+1}|=|A_\ell|$ 、 そう $A_{\ell+1}=A_\ell$。このアイデアを使用して、帰納法によって次のことを証明できます。$A_k=A_\ell$ すべてのための $k\ge\ell$。その後、ほぼ完了です。$A_k\supseteq A_\ell$ ために $k=1,\ldots,\ell$、および $A_k=A_\ell$ ために $k>\ell$、 そう

$$\bigcap_{k\ge 1}A_k=\bigcap_{k=1}^\ell A_k\cap\bigcap_{k>\ell}A_k=A_\ell\cap A_\ell=A_\ell\,.$$