連続体仮説による真理、証明可能性、公理の基礎

Nov 28 2020

SをZFC（PL 1を含む）の構造/言語とします。CHによく知られている連続体仮説を参照させます。私の主張は次のとおりですが、それが正しいか間違っているか、そしてその理由を言うことができますか？

Sでは、トートロジーと矛盾のみがすでに真/偽であり、CHはそのようなものではないため、CHは真でも偽でもありません。
空の集合が存在するというSの公理が1つだけであると仮定するとします。このシナリオでは、セットのカーディナリティについてはまだまったく話せないため、CHは真でも偽でもありません（したがって、CHについて話すことはできません）。
SでZFCを想定しているとしましょう。これで、集合のカーディナリティについて話すことができます。つまり、ここではCHはwffであるため、trueまたはfalseのいずれかになります。しかし、それがどれであるかを証明することはできません（ゲーデル、コーエン）。しかし、それは次のことを意味します。この瞬間、CHはZFCで真または偽です。私たちは知りませんし、決して知りません！
ZFC（ZFC + CH）でCHが真であると残酷に仮定した場合、矛盾はありません（Gödelによる証明）が、ZFC + 〜CHをとると、矛盾もないことを証明できます（Cohen）。したがって、ZFCは-大まかに話す-漁師の網が大きすぎて特定の魚を捕まえられないことがあるように、CHの真偽を正しく捕らえるには一般的すぎます。

回答

4 NoahSchweber Nov 28 2020 at 04:43

ここにはいくつかの問題があり、最初は重要ではないと感じるかもしれませんが、時間が経つにつれて（すでにかなり微妙な）状況が曇ってしまいます。

まず第一に、あなたは構造、理論、そして言語を混同しています。複雑さの昇順：

言語（別名署名又は語彙）のような非論理的シンボルの集合であります$\{\in\}$ または $\{+,\times,0,1,<\}$。
理論は、一次の文章の集合であり、そして言語のための$\Sigma$ A $\Sigma$-理論は言語の文からなる理論です $\Sigma$ -例： $\mathsf{ZFC}$ は $\{\in\}$-理論と一次 $\mathsf{PA}$ は $\{+,\times,0,1,<\}$-理論。
構造所与の言語には、その言語における様々な記号の解釈のあるセットと共にありますhttps://en.wikipedia.org/wiki/Structure_(mathematical_logic)#Interpretation_function。

特定の記号文字列がwffであるかどうかは、関係する言語のみに依存し、検討している公理や、特に焦点を当てている構造（存在する場合）には依存しません。$\mathsf{CH}$ 言語のwffです $\{\in\}$。何が空$\{\in\}$-理論（あなたの "$S$"）できないことは、についての基本的なことを証明することです $\mathsf{CH}$および関連する文。そう$S$ について話すことができます $\mathsf{CH}$、言うことはあまりありません。この問題は暗黙のうちに$(1)$ そして $(2)$、および明示的に $(3)$。

次に、より微妙な点、つまり真実と偽りについて説明します。満足関係$\models$ 構造と文/理論を「$\mathcal{A}\models\varphi$「（または」$\mathcal{A}\models\Gamma$"）として読まれている"$\varphi$ に当てはまります $\mathcal{A}$"（または。"のすべての文 $\Gamma$ に当てはまります $\mathcal{A}$"）。しかし、私たちはこの文脈でのみ「真」という用語を使用します。理論について話すとき、関連する用語は証明可能です。

理論とは対照的に、構造に対して「真」や「偽」などの用語を予約する主な理由は、二値原理などの真理の標準プロパティは、理論内の証明可能性ではなく、構造内の真理のみを保持するためです。用語を分離することにより、正確で微妙なエラーを回避しやすくなります。これはあなたのポイントの問題です$(3)$、真実と証明可能性が混同されるところ。特に、声明

この瞬間、CHはZFCで真または偽です。私たちは知りませんし、決して知りません。

解析しません。

OK、残念ながら、人々は物事が真/偽であると言うのを見つけるでしょう$\mathsf{ZFC}$。関係は、文が理論で証明可能であるということです$T$ https://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_completeness_theorem それはのすべてのモデルに当てはまります $T$、したがって、これは完全に不当ではありません。しかし、これは用語の乱用であり、トピックの基本が習得されるまで避ける必要があります。

真実から証明可能性に移行した後、ポイント $(4)$次に、1つのわずかな追加の仮説で正しいです：仮定$\mathsf{ZFC}$そもそも一貫している、両方$\mathsf{ZFC+CH}$ そして $\mathsf{ZFC+\neg CH}$ 一貫しています。