レゾルベントノルムの限界について

Question

しましょう $H$複雑で、無限の次元の、分離可能なヒルベルト空間である。ゼロ以外の演算子を2つ修正する$A,B \in B(H)$ そのような $B$ のスカラー乗ではありません $A$。それはよく知られています：

$$ \| R_A (z) \| \rightarrow 0 \quad \text{when}\, |z| \rightarrow +\infty $$

これは簡単に次のようになります。

$$\|R_A(z) \| \leq \frac{1}{|z| - \| A \|} \quad \forall z \in \mathbb{C} : |z| > \| A \|$$

ここで、演算子について考えてみましょう $A+ cB$ どこ $c$ は正の実数であり、いくつかの複素数を修正します $z$。私たちはそれを言うことができます、すべてのために$\epsilon >0$、 が存在します $M>0$ そのような：

$$ c > M \, \, \text{such that} \, \, z \not \in \sigma(A+cB) \Rightarrow \|R_{A+cB} (z)\| < \epsilon$$

直感的に、$c \rightarrow +\infty$、次のようになります。

$$ R_{A+cB}(z)=(z-A-cB)^{-1}= c^{-1}(z/c - A/c -B)^{-1} "\rightarrow" 0$$

なぜなら $|z/c| \rightarrow 0$、 $\|A\| / c \rightarrow 0$、 $1/c \rightarrow 0$ そして $B$固定されています。しかし、私はこの種の結果についての言及を知りません。誰かがこれの参照または証拠を持っていますか？

Answer 1

Michaelがすでに観察したように、次の場合に反例を作成するのは簡単です。 $B$ 重要なカーネルがあります $N(B)$ そして $A$ マップ $N(B)$ それ自体に、以来 $N(B)$ サイズ $c$ 何の役割も果たしません。

しかし、たとえ $B$ 同型であり、アイデンティティでさえ $B=I$、推測は誤りです： $z-A-cB=(z-c)-A$。逆のノルムの最大値（全体として$z$ 対応するレゾルベント集合から）は明らかに独立しています $c$。

とにかく、 $B$は同型であり、いくつかの推定値があります。

ホールドがあります $(z-A-cB)^{-1}=B^{-1}((z-A)B^{-1}-c)^{-1}$、および質問に記載されているレゾルベント推定値を使用して、を取得できます。 $$\|R_{A+cB}(z)\|\le\|B^{-1}\|\frac1{|c|-\|(z-A)B^{-1}\|}.$$ これにより、次の場合の見積もりが得られます。 $|c|$ に比べて大きい $|z|\|B^{-1}\|$。

場合 $|z|$ に比べて大きい $|c|\|B\|$、質問からの見積もりを使用できます。

どちらも当てはまらない場合は、上記のように適切な見積もりを行う必要はありません（$B=I$）。