リーマン・スティルチェスの定理の反例

Nov 27 2020

仮定します $f$ に縛られている $[a,b]$$f$ 不連続点が有限に多いだけです $[a,b]$ そして $ \alpha $不連続点のすべてのポイントで連続です。次に$f \in \Re(\alpha)$

その例はありますか $f$ に制限されています $[a,b]$ で不連続 $ x=c \in $[a、b]、 $ \alpha(x) $ で不連続です $ x=c $ 同様に、しかし $ f \in \Re(\alpha)$

回答

RRL Nov 27 2020 at 00:22

被積分関数と積分器の両方が不連続であるが、リーマン・スティルチェス積分が存在する例は次のとおりです。$$f(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x < c \\ 1, & c \leqslant x \leqslant b \end{cases}\quad \alpha(x) = \begin{cases}0, & a \leqslant x \leqslant c \\ 1, & c < x \leqslant b \end{cases}$$

サブインターバルのあるパーティションの場合 $I_c =[c,c+\delta]$ 上部と下部の両方のダルブー-スティルチェスの合計は $1$ 以来 $\sup_{x\in I_c} f(x) = \inf_{x \in I_c} f(x) = 1$ そして $\alpha(c+\delta) - \alpha(c) = 1$。これはそれを証明します$f \in \mathcal{R}(\alpha)$ 以来 $\epsilon > 0$ 次のようなパーティションがあります $U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \epsilon$