リンケージとコーエン・マコーレーネス

Question

2つの既約成分を持つ縮小lciスキームがあるとします。 $X = Y \cup Z$。私はそれを言いたい$Y$ コーエン・マコーレー $Z$ 同様です。

これはEisenbundの定理21.23（タイプミスがあります：最初の $J = (0:_A I)$削除する必要があります）。または、PeskineとSzpiroの「Liaisondesvariétésalgébriques」、命題1.3から、これは本質的に同じです。

私は正しく理解していますか？

Answer 1

質問はローカルです。だから、$R$ ゴレンシュタインであるローカルリングになります。 $I,J\subset R$ 定義する $Y,Z$あなたの質問のように。次に、正確なシーケンスがあります$0\to I\to R\to R/I\to 0$ そして私達はそれを仮定しています $R/I$コーエン・マコーレーです。すべてに注意してください$R,R/I,R/J$ 同じ寸法を持っている $d$。二重化すると、$0\to\omega_{R/I}\to R\to R/J\to 0$。これは、$R/J\geq d-1$。モジュロに行くことによって、$d-1$ 極大イデアルの要素は、次の場合に減らすことができます $d=1$。今度は再び二重化して取得します、$0\to \operatorname{Hom}_R(R/J,R)\to R\to R/I\to\operatorname{Ext}^1_R(R/J,R)\to 0$。当然のことながら、地図は$R\to R/I$にあるため、extはゼロです。これは、$R/J>0$ それが私たちが望んでいたことです。

Answer 2

私はあなたのどちらの参照にもアクセスできませんが、ここでは、私には反例のようです。滑らかな二次曲面を取ります$Q$ に $\mathbb P^3$、滑らかな曲線 $C$ に $Q$ 二度の $(1,3)$ そして別の滑らかな曲線 $D$ に $Q$ 二度の $(3,1)$。それぞれの$C,D$ のねじれた四次関数です $\mathbb P^3$。取る$Y,\ Z$ そして $X$ アフィンコーンになる $C,\ D$ そして $C\cup D$、それぞれ。 $C\cup D$ は $(2,4)$ の完全交叉 $\mathbb P^3$、 そう $X$ lciですさらに、 $X=Y\cup Z$、ながら $Y,Z$ コーエン・マコーレーではなく、ねじれた四次関数上の錐体です。