最速降下問題の微妙さ

Question

以下は私が大学院で最初に遭遇した最速降下問題の特定の例であり、私は時々CMを教える際にハードウェア問題として使用しました。

粒子は原点で静止状態から始まり、パスに沿って重力下で落下するように拘束されます $y(x)$ ポイントを通過する $x=5$、 $y=-1$（任意の単位、たとえばメートル）。重力ポテンシャルは線形であると仮定します。$V=mgz$。

a）所要時間を最小化するパスを決定します。そのパスのプロットを作成します。

b）時間を静止させる別の方法はありますか？はいの場合、そのパスのプロットを作成し、このパスが最小、最大、または鞍点のいずれであるかを説明します。

最速降下問題の解決策はもちろん非常によく知られているので、この割り当ては実際には境界条件を満たす特定のサイクロイドを見つけることに関するものです。パートbが示すように、複数のサイクロイドがあります。標準のサイクロイドと、「跳ね返る」2つのサイクロイドです。

トラバース時間はトレースされた角度に比例するため、単純なサイクロイドが絶対最小値であることは明らかです。しかし、他の2つはどうですか？素朴にそれらはサドルであるべきですが、作用汎関数の2番目のバリエーションは明らかに正であり、それらが極小値であることを示しています。しかし、パスの空間のトポロジーについて何か面白いことがない限り、それは正しくありません。より高いサイクロイドの鞍点または最小値ですか？

PS：より高いサイクロイドを解として簡単に却下できないことを確認するには、速度成分のこのプロットを検討してください。 $(v_x,v_y)$ 2番目のサイクロイドの時間の関数として。

加速の対応するコンポーネントは次のとおりです。

明らかに、加速（および拘束力）は完全にスムーズです。

Answer 1

TL; DR：複数のサイクロイドから区分的に構築されたパス（それぞれが異なるエネルギーを持つ可能性があります）$E$、以下を参照）、および尖点を使用して $x$-軸、静止していません。

スケッチされた証拠：

1. 最速降下問題のアクション（=費やされた時間）は次のとおりです。$$S~=~\int_0^a\! \mathrm{d}x~L,\qquad L~=~\sqrt{\frac{1+y^{\prime 2}}{y}},\qquad y~\geq~ 0,\tag{1}$$ 境界条件付き $y(0)=0$ そして $y(a)=b$。（ここに$y$-軸は下向きであり、単純化のために時間と空間の単位を選択しました。 $2g=1$。）

2. 物理的に、私たちはその道を要求します $x\mapsto y(x)$少なくとも継続的です。数学的には、被積分関数はルベーグ積分可能でなければなりません。できるだけ単純にするだけでなく、OPの例も組み込むために、便利な妥協点を見つけて、パスを想定します。$x\mapsto y(x)$ある区分我々は派生を許可しますが、連続微分$y^{\prime}\equiv \frac{dy}{dx}$ 被積分関数がルベーグ積分可能である限り、ピース間の点で特異になる。

3. したがって、静止経路は、各ピースの内部でオイラーラグランジュ（EL）方程式を必ず満たします。ピース間のポイントで追加の条件が発生する場合があります。

4. ラグランジアン以来 $L$ 明示的なものはありません $x$-依存性（ピース内の）の対応するエネルギーの概念は保存されます： $$E~=~ y^{\prime} \frac{\partial L}{\partial y^{\prime}}-L~\stackrel{(1)}{=}~-\frac{1}{\sqrt{y(1+y^{\prime 2})}}~<~0.\tag{2}$$

5. ピースソリューションはサイクロイドです： $$\begin{align} 2E^2x~=~&\theta-\sin\theta~\approx~\frac{\theta^3}{6},\cr 2E^2y~=~&1-\cos\theta~\approx~\frac{\theta^2}{2},\end{align}\tag{3}$$ここで、近似は尖点の近くで有効です。尖点方程式は次のようになります$$ y~\stackrel{(3)}{\propto}~ x^{2/3}.\tag{4}$$ 心臓弁膜尖の近くで、粒子は自由落下運動を実行しています。これは時間の関数として滑らかです。 $t$。

6. アイデアは、カスプを水平レベルで切り捨てることです。 $y=\epsilon\ll 1$、すなわちいくつかで $x~\propto~ y^{3/2}~=~\epsilon^{3/2}$。（簡単にするために、カスプの右側のブランチだけを考慮します。左側のブランチも同様です。）カスプのアクションは次のとおりです。$$L~\stackrel{(1)+(2)}{=}~\frac{1}{|E|y}~\stackrel{(4)}{\propto}~ x^{-2/3}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~x^{1/3} ~\propto~\epsilon^{1/2}.\tag{5}$$ 比較のために、水平パスのアクションは予想どおり高速です。 $$L~\stackrel{(1)}{=}~\frac{1}{\sqrt{y}}~=~ \frac{1}{\sqrt{\epsilon}}\qquad\Rightarrow\qquad S~\propto~\frac{x}{\sqrt{\epsilon}} ~\stackrel{(4)}{\propto}~\epsilon.\tag{6}$$ これは、アクションを1次に変更できることを示しています。 $\epsilon$、したがって、パスは静止していません。 $\Box$