さまざまな署名における序数の定義可能性
最近、私は、数えられる序数の定義可能なサブセットが、序数の構造に「アクセス」するためのさまざまな方法を備えた最低限の一階述語論理（集合論ではない）の観点から「どのように見えるか」を研究しています。
たとえば、2つのアリティのリレーショナルシンボルのみで構成される署名がある場合があります。 $S$ これを構造で解釈します $\mathcal{A}$ 基礎となるセット $\omega_1$ のセットとして $(\alpha,\beta)$ そのような $\beta$ の後継者です $\alpha$。次に、のサブセットについて質問できます。$\mathcal{A}$ この署名を持つ一階述語論理文で定義できます。サブセットは $S\subset\mathcal{A}$ 一階述語論理文がある場合、定義可能と見なされます $\phi(x)$ の満足のいく割り当てのセット $x$ です $S$。この例では、式を使用して、すべての可算後継序数のセットを定義できます。$\exists y:S(y,x)$。
また、「最小の序列は何ですか？ $\alpha$ そのような $\alpha$ その意味で定義できない $\{\alpha\}$ 上記の例では、実際には定義可能な序数がないため、定義できない最小の序数はゼロであることがわかります。署名がますます強くなるにつれて、定義できない最小の序数がどのように成長するかに特に関心があります。たとえば、私は署名でそれを自分自身に納得させることができました $\{<\}$ の明白な解釈で $\omega_1$ 「関係未満」として、定義できない最小の順序は $\omega^\omega$ （私はまだ正式に私の議論を書き留めていませんが）。
私の質問は：誰かがこれらのような質問を研究したことがありますか？のような他のさまざまな署名の最小の定義可能な順序が何であるかがわかっていますか？$\{ADD(x,y,z)\}$ これはすべてに当てはまります $x,y,z$ そのため $x+y=z$、または乗算、べき乗、ヴェブレン関数などを備えた他の署名ですか？これらのアイデアの既知の一般化はありますか？任意のヘルプまたは関連文献をいただければ幸いです。
回答
コメントを追加するのに十分な評判がありません。次の論文はあなたに役立つかもしれません。タルスキ、モストフスキー、ドネルの研究を拡張した結果と、いくつかの非常に優れた歴史的概要と参考文献が含まれています。
ブチ、シーフケス-可算序数のモナディック二次理論の完全な拡張。
弱い単調な二次論理は、Ehrenfeuchtの元の作品にすでに現れています。一次結果のみに関心がある場合でも、（弱い）単調な二次ロジックが役割を果たす可能性があります。
たとえば、順序加算の1次理論は、内部の順序加算の1次理論と一致します。 $\omega^{\omega^{\omega}}$ （Ehrenfeuctによる）、 $(\omega^{\omega^{\omega}},+)$ の一般化された力の還元です $(\omega,+)$ 'exponent'は弱いモナディック2次バージョンです $(\omega^{\omega},<)$（Feferman-Vaughtの定理は、これを理解するための正しいツールです）。詳細については、Thomas-Ehrenfeucht、Vaught、および後継者の弱いモナド理論の決定可能性があります。ここでの詳細はすべて正しいですが、結論にはいくつかの問題があると思います。
Cachat-Tree Automata Make Ordinal TheoryEasyなどのオートマトン側の最近の作業もあります。この内容については何も知りませんが、この地域の包括的な概要が必要な場合は、これが出発点になる可能性があります。