サンプリングと再構成を伴うエッジケース。

Question

私は以前、こことここでこの質問に手を出していたことを知っていますが、誰かがトリックの袋の中に最も単純で簡潔な証拠を持っていますか？

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty} (-1)^n \, \operatorname{sinc}(t-n) = \cos(\pi t) $$

どこ

$$ \operatorname{sinc}(x) \triangleq \begin{cases} \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \qquad & x \ne 0 \\ \\ 1 & x = 0 \\ \end{cases} $$

そして $t\in\mathbb{R}$ そして $n\in\mathbb{Z}$ ？

で両側が偶関数であることを示すことができます $t$ そして、双方が合意した場合 $t$は整数です。しかし、すべての現実の平等を示すための最も簡単な方法は何ですか$t$ ？

これは私たちネアンデルタール人の電気技師のためにまとめたいものです。（そしてありがとうございました。）

Answer 1

この回答は、主にOPの関連する質問に対するこの（非常に簡潔な）回答に基づいています。

のために注意してください $t\in\mathbb{Z}$平等を示すのは簡単です。興味深いのは$t$整数ではありません。以下の導出は、の非整数実数値に対して有効です。$t$。

使用する $\cos(x)\sin(y)=\frac12\big[\sin(x+y)-\sin(x-y)\big]$ 我々は書ける

$$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}(-1)^n\textrm{sinc}(t-n)&=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\cos(n\pi)\frac{\sin[\pi(t-n)]}{\pi(t-n)}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{t-n}\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{t-n}+\frac{1}{t+n}\right)\right]\\&=\frac{\sin(\pi t)}{\pi}\left[\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}\right]\tag{1}\end{align}$$

ここで、次の結果が必要です。

$$\frac{1}{t}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2t}{t^2-n^2}=\pi\cot(\pi t)\tag{2}$$

これは、ここ、ここ、ここにあり、sinc関数のよく知られた無限積表現から導出できます。

$$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}=\prod_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{t^2}{n^2}\right)\tag{3}$$

組み合わせる $(1)$ そして $(2)$ 望ましい結果が得られます。

Answer 2

合計を理解する方法にはいくらか注意する必要がありますが、理解していると仮定すると $\sum_{n=-\infty}^\infty a_n$ 限界としてそれ $N\to\infty$ の $\sum_{-N\le n\le N}(1-\frac{|n|}{N})a_n$ （チェザロ和は、後者が理にかなっている場合に通常の結果と同じ結果をもたらします）、あなたはただ書くことができます $$ (-1)^n\rm{sinc}(t-n)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-2\pi i n(x+\frac 12)}e^{2\pi i xt}\,dx $$ したがって、Cesaroの部分和は $\int_{-1/2}^{1/2}K_N(x+\frac 12)e^{2\pi i xt}\,dx$ どこ $K_N(z)=\sum_{-N}^N(1-\frac{|n|}{N}) e^{-2\pi i nz}$あるフェイェール核が。あなたが今知りたいのはそれです$K_N$ 対称、非負、 $1$-周期的、全積分 $1$ 期間にわたって、均一に傾向があります $0$整数の任意の小さな近傍の外側。だから、大規模な場合$N$、 $K_N(x+\frac 12)$ ほぼほぼ機能です $0$ オン $(-\frac 12+\delta,\frac 12-\delta)$ 固定の場合 $\delta>0$ ほぼ積分されています $\frac 12$ 各間隔で $[-\frac 12,-\frac 12+\delta]$ そして $[\frac 12-\delta,\frac 12]$。あなたがそのようなものを統合するとき$e^{2\pi i xt}$ 以上 $[-\frac 12,\frac 12]$、おおよそ取得します $\frac 12(e^{-\pi it}+e^{\pi i t})=\cos(\pi t)$。

この議論における唯一の歩行者以外のステップは、通常の合計からCesaroの合計に切り替えることです。それを回避することはできますが、代わりにディリクレ核を取得し、限界までの最後の通過はややわかりにくくなります（カーネルは間隔の大部分で均一に減衰しませんが、代わりにそこでより速く振動しますリーマン・ルベーグの補題のようなものを使用して、エンドポイント（の小さな近傍）のみを見る必要があることを示します。