接平面から離れた正二十面体頂点の「上向き」角度を計算する方法
完全に正三角形で構成された正二十面体があるとしましょう。
その二十面体の1つの頂点の星点を「平らにする」とすると、次のように5本の線が出ている星ができます。
この二十面体のピースを正常に平坦化するには、2つの譲歩を行う必要があります。線の間の角度は、60°から72°に増加し、各正三角形の最も外側の線は、100から〜117.557に「成長」する必要があります。
私はその三角形のすべての部分をうまく計算することができます、そしてここで：
私が理解する必要があるのは、内角が60°に戻るように各線をどの角度で上げる必要があるかです。私が何を意味するのかを理解するために、私たちの二十面体からの2本の線を参照して単位球を見てみましょう：[！[ここに画像の説明を入力してください] [5]] [5]完全に水平）私たちは72°の角度にありますが、それらを（等しく、一緒に）持ち上げると、60°に達します。左側は、オレンジスライス幅の「最大」にあります。上（または下）に移動すると減少し、ある時点で60°に戻ります。これは、二十面体が適切な形状に戻るために必要な角度です。
私が理解しているように、2本の線が水平スライスから90°オフセットに達すると、0に近づきます（そして到達します）。これは、この方向に1から0になるため、SIN（）の関数です。これらの問題を2次元のコンポーネントに分離するときに、これらすべての問題を分解する方法についてはかなりよく理解していますが、さまざまな視点を相互に関連付ける方程式を導出する方法がわかりません。各線の上向きの角度は、線の間の内角にどのように影響しますか？
更新：わかりました、答えを見つける方法を見つけましたが、それは「型破りな」手段によるものです。Fusion 360を使用して、使用しているパラメーターでオレンジスライスを作成しました。次に、スライスの上に角度を付けて100単位の長方形をスケッチし、スライスを切り取るときに、2つのポイント間の距離が正確な長さである交差のインシデントである2つの「牙」ポイントが表示されるようにしました。長方形の。次に、ポイントと水平線の間の角度を測定しました。
したがって、質問に対する直接の答えは31.717度です...しかし、Fusion 360を使用してジオメトリをハックせずに、これを解決する方法はまだわかりません。
回答
仮定します $r$ は、エッジの長さが1の正五角形の外半径です（二十面体のエッジに一致するように、外縁の長さを一定に保つのが最も簡単です。）次に、それを確認するのはそれほど難しくありません。 $\sin(36) = \frac{1/2}{r}$、 そう $r = \frac1{2\sin36}$。
五角錐を見ると、垂直の直角三角形があります。 $r$ ベースとして、そして斜辺 $1$これは正二十面体のもう1つのエッジです。あなたが探している角度は$\cos\alpha= \frac r1$。そう$\alpha = \cos^{-1}(\frac1{2\sin36}) \approx 31.7174$。