正の固有値の合計。

Question

行列のトレースは、指定された行列の固有値の合計であることがわかっています。行列の特性多項式がわかっているとすると、行列の正の固有値の合計を与える結果はありますか？

正の固有値のみの合計が必要であることに注意してください...すべての固有値ではありません。

Answer 1

これは本質的に、個々の固有値を見つけるのと同じくらい難しいです...

...特に、簡単であれば、それを使用して個々の固有値を見つけることができるためです。

行列の特性多項式から $A$、の特性多項式を取得するのは簡単です $A-kI$、およびのすべての正の固有値の合計 $A-kI$ より大きいすべての固有値の合計に等しい $k$ の $A$。特に、$k$ が最大の固有値と2番目に大きい固有値の間にある場合、この合計はの最大の固有値になります。 $A$。

私たちはそのようなを見つけることができます $k$ 二分探索を使用する（特に、の正の固有値の合計に注意してください） $A$ の最大固有値の上限です $A$、したがって、使用できる範囲があります）。

の最大固有値がわかれば $A$、それを説明し、同様のプロセスを使用して、2番目に大きい固有値、3番目に大きい固有値などを見つけることができます。

---

「個々の固有値を見つけるのと同じくらい難しい」とは、特に、行列が次の場合、この合計を見つけるための正確な式がないことを意味することに注意してください。 $5\times 5$ 以上-すべての固有値の合計とは対照的に、これは単なるトレースです。

Answer 2

しましょう $C$等高線の左側が虚軸に沿った、大きな正向きの正方形の等高線である。次に$$ p(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{r_1}(\lambda-\lambda_2)^{r_2}\cdots(\lambda-\lambda_n)^{r_n} \\ \frac{p'(\lambda)}{p(\lambda)}=\frac{r_1}{\lambda-\lambda_1}+\frac{r_2}{\lambda-\lambda_2}+\cdots+\frac{r_n}{\lambda-\lambda_n} \\ \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\lambda\frac{p'(\lambda)}{p(\lambda)}d\lambda = \sum_{\lambda_j > 0}r_j\lambda_j = \mbox{sum of roots in the right half-plane} $$すべてのルーツが本物であることがわかっている場合は、必要なものがあります。そうでない場合は、実際の軸に十分に近づけて統合することができ、実際の軸のルートのみを合計することになります。それらは多重度に従って合計されます。