制限を計算する $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

Question

制限を計算する必要があります $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

実際、私には解決策がありますが、これは60秒以内の回答である必要があります（より多くの質問がある試験から）

だから私はもっと簡単な方法があるかどうか迷うか、もっと速く考えなければならないでしょう。

これが私が試したことです：

ために $ x\to \infty $ また $ t\to\infty $ そして $ \frac{1}{t^{2}}\to\infty $ のテイラー展開ができるように $ cos $ 周り $ 0 $：

$ \cos\left(x\right)=1-\frac{x^{2}}{2}+R_{3}\left(x\right) $ したがって：

$ \cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)=1-\frac{1}{2t^{4}}+R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right) $

そしてまた $ |R_{3}\left(x\right)|=|\frac{f^{(4)}\left(x_{0}\right)}{4!}x^{4}|\leq\frac{x^{4}}{4!} $ したがって、

$ |R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\frac{1}{4t^{8}} $

今：

$ \intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\intop_{x}^{2x}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^{5}}+\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)\right)dt=\left(\ln\left(t\right)\right)_{x}^{2x}+\frac{1}{8}\left(\frac{1}{t^{4}}\right)_{x}^{2x}+\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt $

そして $ |\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}R_{3}\left(\frac{1}{t^{2}}\right)|\leq\intop_{x}^{2x}\frac{1}{4t^{9}}dt=\left(-\frac{1}{32}\cdot\frac{1}{t^{8}}\right)_{x}^{2x}\underset{x\to\infty}{\longrightarrow}0 $

したがって、 $ \lim_{x\to\infty}\intop_{x}^{2x}\frac{1}{t}\cos\left(\frac{1}{t^{2}}\right)dt=\ln2 $

それについて考えるのにかなり長い時間がかかりました。もっと簡単な方法/ヒントやコツがあれば、それは本当に役に立ちます。

前もって感謝します

Answer 1

もっと簡単な方法があります。場合$x$ 十分に大きい場合 $0\leq 1-\cos (\frac 1 {t^{2}})<\epsilon$ すべてのために $t \in (x,2x)$。したがって、$\int_x^{2x} \frac 1 t [1-\cos (\frac 1 {t^{2}})]dt<\epsilon (\ln (2x)-\ln x)=(\ln 2) \epsilon$。したがって、の限界を見つけるだけで十分です$\int_x^{2x} \frac 1 t dt $ これは $\ln 2$ 直接計算による。