制限プロパティの証明

Question

次の特性を証明したい：

しましょう $(a_n),(b_n)$ のシーケンスである $\mathbb{R}$、 $a_n\to a $ そして $b_n\to b$

$(\exists\ n_0 \in\mathbb{N}\ \forall n \geq n_0: a_n \leq b_n)\Rightarrow a\leq b $、 $a>b\ , \epsilon:=(a-b)/2 $

ある時点で、私のスクリプトはそれについて言及しています $-(a_n-a)<\epsilon $ そして $b_n - b<\epsilon$

誰かが上記のステップの背後にある直感を私に説明できますか？

前もって感謝します。

Answer 1

最初のシーケンスがに収束するという条件で、それを証明したい $a$ そして2番目のものは $b$、それは保持します $a\le b$。

そうではないと思います。 $a>b$。したがって、$\varepsilon=(a-b)/2>0$ そして私たちは見つけることができます $n_1\ge n_0$ そのような、のために $n\ge n_1$、 $$ |a_n-a|<\varepsilon,\qquad |b_n-b|<\varepsilon \tag{*} $$ これは $$ -\varepsilon<a_n-a<\varepsilon,\qquad -\varepsilon<b_n-b<\varepsilon $$ 不等式の最初のペアは $-(a_n-a)<\varepsilon$。分離することもできます$b_n-b<\varepsilon$ 矛盾を導き出します。

一方、私はもっと単純に（*）を次のように書き直したいと思います $$ a-\varepsilon<a_n<a+\varepsilon,\qquad b-\varepsilon<b_n<b+\varepsilon $$ そしてそれを観察する $b+\varepsilon=(a+b)/2=a-\varepsilon$、だからこれは $$ \frac{3b-a}{2}<b_n<\frac{a+b}{2}<a_n<\frac{3a-b}{2} $$ そして中心的な不平等は矛盾を提供します。