製品の準同型

Question

しましょう $(G,+)$ そして $(H,\star)$ グループである（それぞれに注意された関係を持つ $+$ そして $\star$）。しましょう$f$ そして $g$ 群準同型であること $f,g:G \to H$。

主張：もし $H$ アーベルである場合、製品マップ $f \cdot g,\,x \mapsto f(x) \star g(x)$ 準同型でもあります。

これを証明することはできましたが、具体的で単純な反例がいつあるのか疑問に思っています。 $H$ アーベルではありません...（たとえば、整数が加算されているなど...）

Answer 1

さて、あなたは左の乗算を考慮することができます $\ell_\pi:S_n\rightarrow S_n:\sigma\mapsto\pi\sigma$ 与えられた $\pi\in S_n$、 どこ $S_n$ 上の対称群です $n$ 場所。

左の乗算のセット $L(S_n)$ 以来、関数合成の下でグループを形成します $\ell_\pi\ell_\sigma=\ell_{\pi\sigma}$、 $(\ell_\pi)^{-1} = \ell_{\pi^{-1}}$ そして $\ell_e= id$ はアイデンティティマッピングです。ここで $e$ 単位元の順列です。

マッピングを検討する $F:S_n \rightarrow L(S_n):\pi\mapsto \ell_\pi$、準同型であるため、 $F(\pi\sigma) =\ell_{\pi\sigma} = \ell_\pi\ell_\sigma = F(\pi)F(\sigma)$。