繊維状の交換ファンクター

Question

以下のスニペット（HoveyのMCブックから抜粋）では、なぜですか $$X\mapsto QX$$しかし、方向が逆になります：$$QX\to X$$？

また、その段落でどのように理解したいと思います $\alpha$ そして $\beta$これらの置換ファンクターを取得するために使用されます：それらは両方とも共線維置換ファンクターに使用されますか？

Answer 1

関手因数分解の公理は、すべてのマップが共フィブレーションとそれに続く非周期的（自明な）ファイブレーションによって因数分解されると主張しています（そして、「自明な」部分を共線維化ファクターにすくうこともできます）。与えられた地図$\varnothing \to X$、常に存在します $\varnothing$ は初期であり、この公理を適用して因数分解を取得します $$ \varnothing \to QX \to X $$ここで、最初は共線維化であり、2番目は些細な線維化です。これはあなたの地図です$QX \to X$。ただし、これを行うプロセスは、次のように機能するファンクターです。$X \mapsto QX$。これがファンクターであることは、ファンクトリアル因数分解の「ファンクトリアル」です。これは地図があるという意味ではありません$X \to QX$。言い換えれば、共線維置換はファンクターを与える$Q$ と $Q(X)=QX$。彼は単にこれを次のように書いた$X \mapsto QX$ （ではなく $X \to QX$、これは何か別の間違った意味になります）。