線形常微分方程式の連立システムを解く（1つの2次、もう1つの1次）

Question

私は2つの結合されたODEを持っています $T(x)$ そして $t(x)$：

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

$\alpha, \beta$ そして $K$ 定数です $>0$。また、$t(x=0)=t_i$。さらに、$(1)$ 私たちは知っています：

$$\frac{d T(x=0)}{d x}=\frac{d T(x=L)}{d x} = 0$$

私は決定する必要があります $T(x)$ そして $t(x)$。誰かがこの問題を進めるための方法を提案できますか？

おそらく、この連立方程式のシステムは、行列法を使用して解くことができますが、私はそれを認識していません。私は通常、因子を積分する方法または特性方程式を使用して根を見つける方法を使用して、単一の方程式を解きます。

Answer 1

$$\frac{d^2 T(x)}{d x^2}-\beta (T(x)-t(x))+K=0 \tag 1$$

$$\frac{d t(x)}{dx}-\alpha(T(x)-t(x))=0 \tag 2$$

ヒント：

から $(2) \qquad T=\frac{1}{\alpha}\frac{d t}{dx}+t$

$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}$

それらを入れます $(1)$ ：

$\frac{1}{\alpha}\frac{d^3t}{dx^3}+\frac{d^2t}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t}{dx} +K=0$

$$\frac{d^3t}{dx^3}+\alpha\frac{d^2t}{dx^2}-\beta\frac{d t}{dx} +\alpha K=0$$これは、一定の係数を持つ線形常微分方程式です。ここからもらえると思います。

Answer 2

ヒント：

代替 $T(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx}+t(x)$ に $(1)$ ：

$$ \frac{1}{\alpha}\frac{d^3t(x)}{dx^3}+\frac{d^2t(x)}{dx^2}-\frac{\beta}{\alpha}\frac{d t(x)}{dx} +K = 0$$

次に、 $\frac{dt(x)}{dx}$。