接続性の定義とその直感
位相空間と言います $X$空でない2つの開いたサブセットの互いに素な和集合として記述できない場合に接続されます。直感的なつながりとは、位相空間が単一の部分であることを意味します。上記の定義がどのように直感を捉えているのかわかりません。助けてください。
回答
もちろんスペースがあれば $X$ 2つ以上のポイントを持つことは次のように書くことができます $A \cup B$、と $A,B$多くの点で、互いに素で空ではありません。しかし、切断されているということは、それを行う方法があり、$A$ 「に近い」 $B$ とのポイントはありません $B$ 「に近い」 $A$。近くにいることは、クロージャーにいることによってトポロジーで形式化されます。だからスペースを呼ぶ$X$ 私たちがそれを書くことができるときに切断されました $A \cup B$、両方のセットが空ではなく、 $\overline{A} \cap B = \emptyset$ （のポイントはありません $B$ に近い $A$）および $A \cap \overline{B} = \emptyset$ （のポイントはありません $A$ に近い $B$）。しかし、これは$$X\setminus B= A \subseteq \overline{A} \subseteq X\setminus B$$ 特にそう $A=\overline{A}$ そして $A$閉じています。対称的に、$B$ も閉じています、そして $A$ そして $B$ お互いの補数であり、 $A$ そして $B$ も開いています（たとえば、次のように表示することもできます $x \in A$ の内部ポイントではありませんでした $A$、のすべての近所 $x$ 非を含む$A$ ポイント、だからポイント $B$、 なので $A\cup B=X$。そして、$x$ 交差する $B$、 $x \in \overline{B}$、しかし私たちは意味がないと仮定しました $x$ の $A$ に近かった $B$...）
ですから、私たちは問題の定義にあり、この意味で切り離されていない空間を「つながっている」と呼んでいます。実際には、切断性の定義で、同時に開いているパーツ、同時に閉じているパーツ、または「分離された」パーツ（最初の定義として）を要求するのと同じです。
接続されたセットを2つにカットすると、カットの場所で、2つのピースの一方が「開いた」状態になり、もう一方が「閉じた状態」になります。たとえば、ある時点で実数直線を2つに切断した場合$a\in\mathbb R$、あなたはどちらか2つの部分を取得します $(-\infty,a],(a,\infty)$、または $(-\infty,a),[a,\infty)$。それらの少なくとも1つはで閉じた境界を持っています$a$。カットに属するポイントは、2つのピースのいずれかに含まれている必要があり、そのピースは、境界ポイントとしてカットポイントを持ちます。同様に、より複雑なスペースの場合：カットした線を2つのピースに分散させ、境界を与えて、それらを開かないようにする必要があります。
もちろん、線や平面などに沿ってカットする必要はありませんが、直感が最もすぐにわかる場合です。