シーケンスの収束が与えられた場合の級数の収束を示す
私は次のことを示すように求める問題に取り組んでいます。実数のシーケンスが与えられた場合、 $(x_n), n=0,1,2,...$ そのような $x_n \rightarrow x$、それを示す $$\lim_{p\to 1^{-}} (1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_n p^n = x$$ 私のアプローチは、等比数列の公式を証明する方法と同様の方法でこれを証明しようとすることです（これは簡単です $(x_n)$一定のシーケンスでした）。したがって、上記のシリーズの部分和を見ると、次のことがわかります。$$(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_n p^n = x_0 + p(x_1-x_0) + p^2(x_2-x_1) +...+p^N(x_N-x_{N-1})+p^{N+1}X_{N}$$ ここからはなかなか許せません $p\rightarrow 1^{-}$それでも、そうでなければすべてがキャンセルされます。だから私はその事実を利用したい$x_n$ に収束します $x$、そして私はそれ以来の事実を使用する必要があると思います $x_n \rightarrow x$、 $(x_m - x_{m-1})$ 用語は $0$ 大用 $m$。しかし、私はまだ合計の最初の項を処理する方法がわかりません。$(x_m - x_{m-1})$ 用語は無視できません。
回答
$\epsilon>0$：
存在することを示したい $\delta$ そのために $p\in\left(1-\delta,1\right)$ その後 $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\in\left(x-\epsilon,x+\epsilon\right)$。x_nがxに収束することがわかっているので、すべてのn> Nに対して次のようなNが存在します。$x_n\in\left(x-\dfrac{\epsilon}{2},x+\dfrac{\epsilon}{2}\right)$。私達はまたそれを知っています：$(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}=(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}$。2番目の部分を見てみましょう：$(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=N}^{\inf}\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)p^{n}=\left(1-p\right)\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\dfrac{p^{N}}{1-p}=\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot P^{N}$
だから私たちは持っています： $(1-p)\sum_{n=0}^{\infty}x_{n}p^{n}\geq(1-p)\sum_{n=0}^{N}x_{n}p^{n}+\left(x-\dfrac{\epsilon}{2}\right)\cdot p^{N}$
ただし、pが1に十分近い場合、最初の部分はゼロになり、2番目の部分はxからイプシロンを引いたものになります。したがって、正しいデルタに必要な下限を表示できます。上限は非常によく似た方法で表示できます。
これが理解できることを願っています