シーケンスを実行します（偶数次のグループの数 $\le n$）/（順序のグループの数 $\leq n$）収束しますか？そうでない場合、そのクラスターポイントは何ですか？
私は最近、群論に関する学部課程を受講しました（これは完全に私の専門分野ではないため、次の質問にはよく知られた答えがあるかもしれませんが、私は単に気づいていません）。可解性の概念を説明しているときに、少し逸脱して、奇数次のすべての有限群が可解であると述べている、フェイト・トンプソン定理としても知られる奇数次定理についてクラスに話しました。私は次のように述べました。有限群の中で、可解性は少なくとも奇数と同じくらい可能性が高いため、例外ではなく規則です。私の学生の一人は、「それで、私が任意の有限群を取る場合、この群が奇数の順序である可能性はどのくらいありますか？」と尋ねました。私は返事を知りませんでした。
そこで、次の一連の関連する質問をしたいと思います。
（1。）\ begin {equation *} x_ {n} = \ frac {\＃\ text {偶数位数のグループの同型クラスの場合$\leq n$}} {\＃\ text {位数のグループの同型クラス $\leq n$}} \ end {equation *}はシリーズを行います$x_{n}$収束しますか？そうでない場合、そのクラスターポイントは何ですか？
（2.） $m\in\mathbb{N}$および\ begin {equation *} y_ {n} = \ frac {\＃\ text {位数のグループの同型クラス$\leq n$、で割り切れる $m$}} {\＃\ text {位数のグループの同型クラス $\leq n$}} \ end {equation *}はシリーズを行います$y_{n}$収束しますか？そうでない場合、そのクラスターポイントは何ですか？
（3。）\ begin {equation *} z_ {n} = \ frac {\＃\ text {位数の可解群の同型クラスの場合$\leq n$}} {\＃\ text {位数のグループの同型クラス $\leq n$}} \ end {equation *}はシリーズを行います$z_{n}$収束しますか？そうでない場合、そのクラスターポイントは何ですか？
私の単純な直感は、3つのケースすべてで、答えは「はい、収束する」であり、次のように収束する必要があるということです。 $\frac{1}{m}$ （2.）の場合、および値に $\geq\frac{1}{2}$ ケース3の場合。
答えがよく知られているなら、事前に許しをお願いします。私は群論の専門家ではありません。
回答
コメントで述べたように、推測上、ほとんどすべての有限群は $2$-ステップ冪零 $2$-グループなので、推測的に1）と3）の答えは、両方の制限が存在し、両方が等しいということです。 $1$; つまり、ほとんどすべての有限群は偶数の順序を持ち、ほとんどすべての有限群は可解です（冪零でさえ）。これの数値的証拠として、最初のほとんどすべて$50$ 十億のグループが秩序を持っている $1024$。2）に対する推測の答えは、$m$ の力です $2$ その場合、制限は $1$ それ以外の場合 $m$ 自明でない奇数の約数がある場合、制限は次のようになります。 $0$。
ここでのコンテキストとして、ヒグマンとシムズによる結果が漸近的に次の数を示していることを知っておく価値があります。 $p$-位数のグループ $p^n$ です $p^{ \frac{2}{27} n^3 + O \left( n^{8/3} \right)}$。下限はカウントから来ます$2$-ステップ冪零 $p$-グループ; ここで、冪零リー代数の類似の引数を見ることができます。このカウントを順序の関数として考える$p^n$ 最大化されているかどうかを確認するのは難しくありません。 $p^n$ 適度に大きいものに囲まれています $N$、作ることによって $p$ できるだけ小さくする（同等に、 $n$ 可能な限り大きい）、それが選び出されるものです $p = 2$。冪零群（Sylowサブグループの積）の数が位数の群によって支配されていることを示す同様のヒューリスティックな議論を書き留めることが可能であるはずです。$2^n$ また。