シーケンスとローカリゼーションの正確さ

Question

仮定します $A$ 有限生成加群です $\mathbb{Z}$-代数と $R$ 有限生成加群です $A$-代数。有限生成加群のシーケンスがあります$R$-モジュール \begin{align*} \mathbb{F}:M_1\rightarrow M_2\rightarrow M_3 \end{align*} シーケンス内のマップの合成がゼロ（正確ではない）であり、 $\mathbb{F}\otimes \mathrm{Frac}(A)$、 どこ $\mathrm{Frac}(A)$ の分数体です $A$、正確です $M_2\otimes\mathrm{Frac}(A)$。それからそれはそれに従いますか$\mathbb{F}\otimes A_a$ 正確です $M_2\otimes A_a$ ゼロ以外の場合 $a\in A$？

Answer 1

$\newcommand{\im}{\mathrm{im}}$

追加された条件で、これは真になります（私は表記を仮定しています $\mathrm{Frac}(A)$ 仮定 $A$ 整域です）。

含めることを検討してください $\im\subset \ker$。 $A_a\otimes \im \subset A_a\otimes \ker$ として、まだ包含です $A_a$ はフラットなので、それが一部の人にとって平等になることを証明する必要があります $a$。

ただし、この包含はまだであることに注意してください $R$-線形（私たちがテンソルしているにもかかわらず $A$）。したがって、LHSにRHSの生成元が含まれている場合、含めることは同等です。

$\ker$ 有限生成（$R$ は有限生成加群であるため、ネーター環です $\mathbb Z$、および $M_2$仮説によって有限生成加群であるため、サブモジュールも同様です。だからしましょう$x_1,...,x_n$ ジェネレータのセットを示します。

$\mathrm{Frac}(A) \otimes \im \to \mathrm{Frac}(A)\otimes \ker$ の有向極限です $A_a\otimes \im\to A_a\otimes \ker$。

だからしましょう $y_1,...,y_n\in A_a\otimes \im$ の前例となる要素である $x_1,...,x_n$ 下 $A_a\otimes \im \to \mathrm{Frac}(A)\otimes \im$。

その結果、 $y_1,...,y_n$ に $A_a\otimes \ker$ と識別されるようになる $x_1,...,x_n$ に $\mathrm{Frac}(A)\otimes \ker$。それらの数は限られているため、次のように識別されます。$x_1,...,x_n$ いくつかの $A_b\otimes\ker$ いくつかのための $b$ で割り切れる $a$、 など $A_b\otimes \im\to A_b\otimes \ker$ です $R$-線形とその画像には $x_1,...,x_n$、これで完了です。

Answer 2

答えは、さらなる仮説がなければノーです。

確かに、取る $A=R=\mathbb Z$、 $M_1 = M_2 = \mathbb Q, M_3 = \mathbb{Q/Z}$、 シーケンス $\mathbb F$ です $id_\mathbb Q$ 正規の投影が続きます。

それは明らかに正確ではありません $M_2$ （（$id_\mathbb Q$ 全射ですが、正規射影は全射ではありません $0$）、同様に、 $\mathbb Z[\frac 1 n]$ のために $n$。

しかし、あなたがそれをテンソルすると $\mathbb Q$、あなたは得る $\mathbb{Q\to Q}\to 0$ これは確かに正確です。

コンポジットが存在するシーケンスが必要な場合 $0$、あなたもそれを行うことができます：

$\mathbb Z \overset{(1,0)}\to \mathbb{Q\oplus Q}\overset{(0,1)}\to \mathbb Q$。

コンポジットはもちろんです $0$、でテンソルした場合 $\mathbb Q$、分割された短い完全系列を取得します。しかし、あなたがそれをテンソルするなら$\mathbb Z[\frac 1 n]$ それはまだ正確ではありません（$\ker/\mathrm{im} = \mathbb Q/\mathbb Z[\frac 1 n]$）