式の場合 $\phi$ 矛盾を証明する $\bot$ その後、私たちは持っていますか $\vdash\phi\to\bot$？
LearyとKristiansenの「数理論理学入門」を使って自分自身に論理を教えようとしています。
公理は必ずしも文ではないという意味で、公式に焦点を当てています。
その本で実践されている干渉規則は、PC（命題論理）とそれを示す数量詞規則QRです。$\psi\to\phi$ 推測できる $\psi\to\forall x\phi$ もし $x$ で無料ではありません $\psi$。
しましょう $\mathcal{L}$ 一階述語でありましょう $\bot$ いくつかを示す $\mathcal{L}$-フォームの文 $\psi\wedge\neg\psi$ そしてしましょう $\phi$ 豆 $\mathcal{L}$-式。
次に $\Sigma:=\left\{ \phi\right\} $ からの控除がある場合、定義上一貫性がありません $\Sigma$ に $\bot$。
今私の質問：
場合 $\left\{ \phi\right\} $ 一貫性がない場合は、次のことも証明できます。 $\vdash\phi\to\bot$？
答えが「はい」である場合、私には明らかです。 $\phi$ 演繹定理を適用できるので、は文です。
しかし、もしも $\phi$ 文ではありませんか？
私の試み：
場合 $\tilde{\phi}$ の普遍的な閉鎖を示します $\phi$ その後 $\left\{ \tilde{\phi}\right\} \vdash\phi$ そのため、の推移性によって $\vdash$ 我々は持っています $\left\{ \tilde{\phi}\right\} \vdash\bot$ そして私たちが持っている演繹定理を適用する $\vdash\tilde{\phi}\to\bot$。
しかし、これは問題を別の質問に移すだけです。
控除がある場合 $\vdash\tilde{\phi}\to\bot$ それから控除もあります $\vdash\phi\to\bot$？
この質問が重複している場合は、事前に感謝し、お詫び申し上げます。
回答
Leary and Kristiansenの本は読んでいませんでしたが、現在メンデルソンの「数理論理学入門」を読んでいるので、最初の質問に答えられるといいのですが。
「式ϕ（ϕ：ψ∧¬ψ）が矛盾⊥を証明する場合、⊢ϕ→⊥？」と述べている最初の質問については、私は答えることができます：事実上、ψ∧¬ψを述べる式は私たちに⊥を結論付けるでしょう、これ（ψ∧¬ψ）→⊥式は定理です、これは自然演繹規則を使用した式の証明です：
1）ψ∧¬ψ-仮定
2）ψ-1のルールE∧
3）¬ψ-1のルールE∧
4）⊥-2,3で
5）（ψ∧¬ψ）→⊥-ルールI→1,4
ψ∧¬ψの真理値表を見ると、すべての値が偽であるということは、（ψ∧¬ψ）→⊥がトートロジーであるだけでなく、（ψ∧¬ψ）→X（Xは任意の式）はトートロジーです。数式が矛盾していることが判明した場合は、すべての数式を調べてください。
2番目の質問については、答えを出すのに十分な自信がありません。現在、メンデルソンの本の第2章（一階述語論理）を読んでいるので、疑問を共有します。