しましょう $G$ 有限群であり、 $A:=\{a\in G\mid a\neq a^{-1}\}$。証明してください $|A|$ 均等です。

Question

しましょう $G$ 有限群であり、 $A:=\{a \in G\mid a \neq a^{-1} \}$ のすべての要素を含むセット $G$それぞれの逆数と等しくありません。証明してください$A$ 偶数の要素が含まれています。

私はこの証拠についてここ でいくつかの投稿を見ましたが、どれも私の試みに似ていませんでした。

これが私の試みです：

以来 $G$ 有限である場合 $A$ また、有限です。

さらに、のすべての要素 $A$ 逆になります $G$ グループです。

今、分割します $A$ と呼ばれる2つのセットで $X$ そして $Y$、 そのような $X\subseteq A$ そして $Y\subseteq A$、のすべての要素が $X$ にその逆があります $Y$。

しましょう $k_{1},k_{2} \in \mathbb{N}$、 そのような $\left | X \right | = k_{1}$ そして $\left | Y \right | = k_{2}$。

にその逆に等しい要素がないので $A$、その後 $ \left | A \right | = \left | X \right | + \left | Y \right |$。

また、 $\left | X \right | = \left | Y \right |$ なぜなら $A$ それぞれの逆とは異なる要素のみが含まれます。

したがって、\ begin {aligned} \ left | \ right | ＆= \ left | X \ right | + \ left | Y \ right | \\＆= k_ {1} + k_ {2} && \ text {[$\left | X \right | = k_{1}$ そして $\left | Y \right | = k_{2}$]} \\＆= k_ {1} + k_ {1} && \ text {[$\left | X \right | = \left | Y \right |$]} \\＆= 2 \ cdot k_ {1} \ end {aligned}

$2k_{1}$ 偶数の定義によると、は偶数です。

したがって、セット $A$ 偶数の要素が含まれています。

私の証明はうまく見えますか？すべての助けに感謝します！

Answer 1

のより単純な分割があります $A$それはトリックを行います。分割する代わりに$A$ カーディナリティが等しい2つの互いに素なサブセットに分割し、2つの要素サブセットのペアごとの互いに素なコレクションに分割します。 $$A = \bigcup_{x \in A} \{x,x^{-1}\} $$

Answer 2

Yuoは素晴らしいアイデアを持っていますが、いくつかの問題を強調しましょう。

1. 今、分割します $A$ と呼ばれる2つのセットで $X$ そして $Y$、 そのような $X\subseteq A$ そして $Y\subseteq A$、のすべての要素が $X$ にその逆があります $Y$。

   わかりました、ここにいくつかの例があります：（a） $X=\emptyset$ そして $Y=A$; （b）$X=A$ そして $Y=A$。アイデアが機能するためには、次のものを追加する必要があります。$x\in A$、 $x\in X$ または $x\in Y$; （ii）その$X\cap Y=\emptyset$

2. 上記の条件を追加すると、 $\lvert X\rvert=\lvert Y\rvert$ 主に次の事実によるものです $x\mapsto x^{-1}$ からの注射です $X$ に $Y$（これは（i）または（ii）に関係なく当てはまります）、さらに（i）のおかげで全射性があります。条件（ii）またはその逆数に等しい要素がないという事実は、この目的には関係ありません。

3. 一方、（ii）はそれを証明するために必要です $\lvert A\rvert=\lvert X\rvert+\lvert Y\rvert$。

注意深い読者は、（1）のようなセットのペアの存在を疑うこともできます。