しましょう $T:X \to Y$ 線形演算子であり、 $\dim X=\dim Y<\infty$。公演 $Y=\mathscr{R}(T)$ 場合に限り $T^{-1}$ 次元定理なしで存在します。
私が解決しようとしている問題は次のとおりです。
しましょう $T:X \to Y$ 線形演算子であり、 $\dim X = \dim Y = n < \infty$。それを示す${\scr{R}}(T)=Y$ 場合に限り $T^{-1}$ 存在します。
ここに ${\scr{R}}(T) := \text{Range} \ T$。
この質問は同じことを尋ねますが、答えはまだ提示されていない次元定理を使用しているので、別の証拠が存在するかどうかに興味があります。
私の現在の進歩：
の存在の証拠 $T^{-1}$ 意味する ${\scr{R}}(T)=Y$ 次の定理が続きます。
しましょう $T:{\scr{D}}(T)\to Y$逆数が存在する線形演算子である。場合$\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ は線形に独立したセットです ${\scr{D}}(T)$ その後 $\{T x_{1},\dots,T x_{n}\}$ Yは線形独立です。
引数は次のとおりです。 $\dim X=n<\infty$ 線形独立のセットが存在します $n$ ベクトル $\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ に $X$ それ以来 $T^{-1}$ 存在する $\{Tx_{1},\dots,Tx_{n}\}$ 線形独立なセットです $Y$上記の定理による。以来$\dim Y=n$ セット $\{T x_{1},\dots,T x_{n}\}$ の基礎を形成します $Y$。だから、$y\in Y$ スカラーが存在します $\alpha_{1},\dots,\alpha_{n}$ の線形性によって $T$：$$y=\alpha_{1}Tx_{1}+\dots\alpha_{n}Tx_{n}=T(\alpha_{1} x_{1}+\dots+\alpha_{n}x_{n}).$$ したがって、 $y\in {\scr{R}}(T)$ そしてなぜなら $y\in Y$ 任意に選ばれた ${\scr{R}}(T)=Y$。
代わりに今それを仮定します ${\scr{R}}(T)=Y$。次に、それを証明するために$T^{-1}$ 存在することを示すだけで十分です $T$単射です。まず、根拠を選びましょう$\{y_{1},\dots,y_{n}\}$ ために $Y$。以来${\scr{R}}(T)=Y$ ベクトルが存在します $x_{1},\dots,x_{n}\in X$ そのような $T x_{1}=y_{1},\dots,T x_{n} = y_{n}$。その後、それはすぐに$Ta = Tb$ そして私たちは書く $Ta$ そして $Tb$ の線形結合の観点から $Tx_{1},\dots,Tx_{n}$、 あれは $$Ta = \alpha_{1}Tx_{1}+\dots+\alpha_{n}Tx_{n}, \quad Tb=\beta_{1}Tx_{1}+\dots+\beta_{n}Tx_{n}$$
結果として $\alpha_{j}=\beta_{j}$ （以来 $\{Tx_{1},\dots,Tx_{n}\}$ が基礎です）。
ここで私は立ち往生しています。私は主張が次のいずれかに従うと思います$x_{j} \mapsto Tx_{j}$ユニークでした（しかし、これは私たちが証明したいものの一種です）。または、セットを表示できる場合$\{x_{1},\dots,x_{n}\}$ 線形独立であること。
質問：この最後の議論で明らかな何かが欠けていますか？最初の部分は正しいですか？
回答
場合 $T^{-1}$ 存在する、つまり、 $T$ は可逆であり、
$y \in Y \tag 1$
我々は持っています
$T(T^{-1}(y)) = y, \tag 2$
それはそれを示しています
${\scr R}(T) = Y, \tag 3$
あれは、 $T$全射です。同様に、（3）が成り立つ場合、
$X/\ker T \cong Y, \tag 4$
すなわち、 $X/\ker T$ そして $Y$ベクトル空間と同型です。これから、
$\dim(X/\ker T) = \dim(Y); \tag 5$
しかし、
$\ker T \ne \{0\}, \tag 6$
その後
$\dim(X/\ker T) < \dim X, \tag 7$
（5）と（7）のコンサートの利回り
$\dim(Y) < \dim(X), \tag 8$
与えられた仮説と矛盾する $\dim(X) = \dim(Y)$; したがって、
$\ker(T) = \{0\}, \tag 9$
したがって $T$単射です。以来$T$ 全射と単射の両方であり、可逆的です。つまり、 $T^{-1}$ 存在します。
しましょう $x_1,...,x_n$ の基礎となる $X$。次に$T(x_1),...,T(x_n)$ スパン $T(X)=Y$。以来$Y$ です $n$-次元、 $y_1=T(x_1),...,y_n=T(x_n)$ の基礎です $Y$。線形写像を考えてみましょう$S:Y\to X$ これはすべての線形結合を取ります $\sum \alpha_iy_1$ に $\sum\alpha_ix_i$。次に$T\circ S$ （（$T$ 最初に行動するのはアイデンティティに基づく $x_1,...,x_n$。そう$T\circ S$アイデンティティマップです。したがって、$S=T^{-1}$。逆に、$S: Y\to X$、 $T\circ S=\mathrm{identity}$。次に$T$ 全射です。