しますか $(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) $ ホールド？

Question

正の定数はありますか $c>0$ そのような $$(x-1)^2+(y-1)^2 \le c\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big) \tag{1}$$

非負の値に当てはまります $x,y$？

この質問のコンテキストを追加しましょう：

動機は事件から来ました $x,y$ の特異値として解釈されます $2 \times 2$ マトリックス $A$非負の行列式を使用します。次に$f(x,y)=(x-1)^2+(y-1)^2=\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$。

バウンディングに興味があります $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{SO}(2))$ 上から2つの項の合計によって：の偏差にペナルティを課す項 $A$ 地域を保護することから、そして用語 $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$、コンフォーマルであることからの逸脱にペナルティを課します。（ここに$\operatorname{CO}(2)=R^{+}\operatorname{SO}(2)$ は整合行列のグループです）。

私のこの前の質問への答えで、次の限界が証明されました：$$ (x-1)^2+(y-1)^2 \le |x-y||x+y| + 2|xy-1|. $$

これは私が考えていたものに近いですが、用語 $|x-y||x+y|$ 場合でも大きくなる可能性があります $x,y$非常に近くなります。実際、それを証明することができます $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))=\frac{1}{2}(\sigma_1(A)-\sigma_2(A))^2$、これが特定の限界について尋ねる理由です $(1)$。（用語$(x-y)^2$ に対応 $\operatorname{dist}^2(A,\operatorname{CO}(2))$）。

Answer 1

しましょう $x=y=0,$ 我々が得る $c \geqslant 2.$

ために $c =2,$ 不平等になる $$(x-1)^2+(y-1)^2 \leqslant 2\big((x-y)^2+(xy-1)^2\big),$$ に相当 $$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8xy.$$ AM-GMの不等式を使用すると、 $$2x^2y^2+x^2+y^2+2(x+y) \geqslant 8\sqrt[8]{(x^2y^2)^2 \cdot x^2 \cdot y^2 \cdot (xy)^2}=8xy.$$ だから、あなたの不平等はすべてに当てはまります $c \geqslant 2.$