シンプレクティック同形はハミルトン方程式を保存します
しましょう $(M_1,\omega_1)$、 $(M_2,\omega_2)$ シンプレクティック多様体であり、 $\psi:(M_1,\omega_1)\rightarrow (M_2,\omega_2)$シンプレクティック同盟である。ハミルトニアンを考えてみましょう$H\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$。曲線を表示する$t\mapsto \gamma(t)\in M_1$ ハミルトン方程式を解きます $\tilde{H}:=H\circ\psi$ $\iff$ 曲線 $t\mapsto \psi\circ\gamma(t)\in M_2$ それらを解決します $H$。
それが事実の結果として得られれば素晴らしいでしょう$X_{H\circ\psi}=\psi^*(X_H)$。
ありがとうございました
回答
私の試み。
命題1
レッツ$(M_1,\omega_1)$、 $(M_2,\omega_2)$ シンプレクティック多様体であり、 $\psi:(M_1,\omega_1)\rightarrow (M_2,\omega_2)$シンプレクティック同盟である。さらに、$H\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$ ハミルトニアンベクトル場を持つハミルトニアンである $X_H\in\Gamma(TM_2)$。
その後、$\psi^*(X_H)$ ハミルトニアンのハミルトニアンベクトル場です。 $\tilde{H}:=H\circ\psi\in\mathcal{C}^\infty(M_1)$つまり、\ begin {equation} \ label {ciao} X_ {H \ circ \ psi} = \ psi ^ *（X_H）です。\ end {equation}
証明 \ begin {equation *} d（H \ circ \ psi）= d（\ psi ^ * H）= \ psi ^ * dH =-\ psi ^ * \ left（i_ {X_H} \ omega_2 \ right）=- i _ {\ psi ^ * X_H} \ psi ^ * \ omega_2 = -i _ {\ psi ^ * X_H} \ omega_1、\ end {equation *} so$\psi^*X_H$ は一意のハミルトンベクトル場wrtです $H\circ\psi$。
系1
$X_{H\circ\psi}$ そして $X_H$ です $\psi$関連
証明
命題1の結論を明示することができます。つまり、$\forall p\in M_1$、 $\forall h\in\mathcal{C}^\infty(M_1)$ \ begin {equation} \ label {拡張相関ハミルトンベクトル場}（X_ {H \ circ \ psi}）_ p（h）=（\ psi ^ * X_H）_p（h）= :( X_H）_ {\ psi（ p）}（h \ circ \ psi ^ {-1}）、\ end {equation}ここで、微分同相写像によるベクトル場のプルバックを開発しました。今、任意を取る$p\in M_1$ そして $g\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$、次に\ begin {equation} \ label {最初の関連するベクトル場} \ left [T_p \ psi（（X_ {H \ circ \ psi}）_ p）\ right]（g）=（X_ {H \ circ \ psi} ）_p（g \ circ \ psi）; \ end {equation}は、最初の方程式を次のように適用します$h:=g\circ \psi$、次に\ begin {equation *} \ left [T_p \ psi（（X_ {H \ circ \ psi}）_ p）\ right]（g）=（X_H）_ {\ psi（p）}（g \ circ \ psi \ circ \ psi ^ {-1}）=（X_H）_ {\ psi（p）}（g）。\ end {equation *}これはすべての人に当てはまるので$g\in\mathcal{C}^\infty(M_2)$、\ begin {equation *} \ left [T_p \ psi（（X_ {H \ circ \ psi}）_ p）\ right] =（X_H）_ {\ psi（p）}（g \ circ \ psi \ circ \ psi ^ {-1}）=（X_H）_ {\ psi（p）}、\ end {equation *}これは、まさにそれを意味します$X_{H\circ\psi}$ そして $X_H$ です $\psi$関連。
命題2
レッツ$F:M\rightarrow N$ 多様体間の滑らかな写像であり、 $X\in\Gamma(TM)$、 $Y\in\Gamma(TN)$ です $F$関連するベクトル場。その後、$F$ の積分曲線を取ります $X$ の積分曲線に $Y$。
プルーフ
レット$\gamma:\mathcal{I}\rightarrow M$ の積分曲線である $X$、私たちはそれを示さなければなりません $\sigma:=F\circ\gamma$ の積分曲線です $Y$：\ begin {equation *} \ dot {\ sigma}（t）= \ frac {d} {dt}（F \ circ \ gamma）（t）= T _ {\ gamma（t）} F（\ dot {\ gamma}（t））= T _ {\ gamma（t）} F（X _ {\ gamma（t）}）= Y_ {F（\ gamma（t））} = Y _ {\ sigma（t）}。\ end {equation *}
結論
シンプレクティック同型はハミルトンの方程式を保存します。
証明し
ましょう$\psi$ シンプレクティック同形である場合、系1のおかげで、ハミルトニアンベクトル場が $X_{H\circ\psi}$ そして $X_H$ を通じて関連している $\psi$。さらに、命題2によって。$\psi$ 積分曲線をの積分曲線にマップします $\psi$関連するジェネリックベクトル場。しかし、ハミルトンベクトル場の積分曲線はハミルトンの方程式の解です。$\psi$ ハミルトンの方程式を保存します。
Abraham-Marsdenを情報源として言及したので、ここにあなたが有益だと思ういくつかのコメントがあります（表記は彼らがそれを使用する方法と非常に同じです）。これは、「ポイントごとのレベル」ではなく「マッピングレベル」にある、より「合理化されたアプローチ」（少なくとも私の意見では）です。
命題1の結論は次のように書くことができることをご理解いただければ幸いです。 $\psi^*(X_H) = X_{\psi^*H}$、もちろんそれは非常に思い出深いものになります。同様に、置き換えることによって$\psi$ 沿って $\psi^{-1}$、そしてその事実を使用して $(\psi)_*:= (\psi^{-1})^*$ （つまり、プッシュフォワードは（定義上）インバースによるプルバックと同じです）、次のようになります。 $\psi_*(X_H) = X_{(\psi_*H)}$ （もちろん、すべてが定義されている場所を再定義する必要があります）
次の場合を思い出してください $F:M \to N$ そして $X$ そして $Y$ 上のベクトル場です $M$ そして $N$ それぞれ、それから私達は言う $X$ そして $Y$ です $F$-関連する場合 $TF \circ X = Y \circ F$、そして私たちは書く $X\sim_F Y$; つまり、次の図は可換です$\require{AMScd}$ \ begin {CD} TM @> TF >> TN \\ @A {X} AA @AA {Y} A \\ M @ >> F> N \ end {CD}最後に、プルバックの定義を思い出してください。ベクトル場の（これには$F$ 微分同相写像になる）： $F^*(Y):= TF^{-1}\circ Y \circ F$ （そして注意してください $T(F^{-1}) = (TF)^{-1}$、だから単に書く $TF^{-1}$あいまいではありません）。これにより、結果1を簡単に証明できます。\ begin {align} T \ psi \ circ X _ {\ psi ^ * H}＆= T \ psi \ circ（\ psi ^ * X_H）\ tag {命題による$1$} \\＆= T \ psi \ circ（T \ psi ^ {-1} \ circ X_H \ circ \ psi）\ tag {定義による} \\＆= X_H \ circ \ psi \ end {align}これは正確に言うそれ$X_{\psi^*H} \sim_{\psi}X_H$ 2つのベクトル場が $\psi$関連。
命題の証明を書き直すことができます $2$次のように：\ begin {align}（F \ circ \ gamma） '＆= TF \ circ \ gamma' \\＆= TF \ circ（X \ circ \ gamma）\\＆=（Y \ circ F）\ circ \ gamma \ tag {since$X\sim_F Y$} \\＆= Y \ circ（F \ circ \ gamma）\ end {align}これはまさにそのことを示しています$F\circ \gamma$ の積分曲線です $Y$。ここでは、$\gamma'$ 使用する場所 $\dot{\gamma}$; これは接束の曲線です$I\subset \Bbb{R}\to TM$