真理値表を作成せずに、ステートメント式〜（〜p→〜q）→〜（q→p）がトートロジーであることを示します

Question

私はこれを数日間解決しようとしていますが、私が正しいかどうかはわかりません。いくつかの重要な講師に出席できなかったので、これが最終的な答えを提示する方法なのか、それとも最終的な答えが正しいのかわかりません。

このサイトの古い投稿を通過した後、私はこのような基盤を確立しようとしました。

• p =雨が降っています
• q =雲があります
• 〜p =雨は降っていません
• 〜q =雲はありません

つまり、左から右へと始めます。

〜（雨が降っていないということは雲がないことを意味します）も〜（雲があるということは雨が降っていることを意味します）を意味します。

最初の部分を否定すると、（雨が降っていることは雲があることを意味します）を与えます。

2番目の部分を否定すると、次のようになります（雲がないということは、雨が降っていないことを意味します）。

このサイン（$\rightarrow$）これらの2つの部分の間で私を混乱させるのは、論理的には両方のステートメントが結合されたときに意味がありますが、それはトートロジーが意味することですか？もしそうなら、私はこれを答えとしてどのように提示するのが最善であり、そうでない場合はどうやってそれを解決するのですか？

この投稿で使用するタグについてはよくわかりません。ここでは初めてです。

Answer 1

それを覚えておいてください $p \vee \neg p$はトートロジーです。つまり、ステートメントは常にtrueと評価されます。また、$p \rightarrow q \equiv \neg p \vee q$。

だから私たちは持っています \begin{align} \neg (\neg p \rightarrow \neg q) \rightarrow \neg (q \rightarrow p) &\equiv \neg \left[\neg(\neg p) \vee \neg q\right] \rightarrow \neg (\neg q \vee p) & \text{(definition of implication (x2) )}\\ &\equiv \neg \left(p \vee \neg q\right) \rightarrow \neg (\neg q \vee p) \\ &\equiv \neg \left(p \vee \neg q\right) \rightarrow \neg (p \vee \neg q) & \text{(rearranging terms)}\\ &\equiv \neg \left[\neg (p \vee \neg q) \right] \vee \neg (p \vee \neg q) & \text{(definition of implication))} \\ &\equiv (p \vee \neg q) \vee \neg ( p \vee \neg q) \end{align}

さあ、 $r = p \vee \neg q$。その後、$(p \vee \neg q) \vee \neg (p \vee \neg q) \equiv r \vee \neg r$、これはトートロジーです。

Answer 2

自然演繹ルールを使用した証明は次のとおりです。

1. $\underline{\mid\quad} ¬(¬P→¬Q)~$ -仮定
2. $\mid\quad\underline{\mid\quad} Q→P~$ -仮定
3. $\mid\quad\mid\quad\underline{\mid\quad} ¬P~$ -仮定
4. $\mid\quad\mid\quad\mid\quad\underline{\mid\quad} Q~$ -仮定
5. $\mid\quad\mid\quad\mid\quad\mid\quad P~$ --E→2,4
6. $\mid\quad\mid\quad\mid\quad\mid\quad ⊥~$ -3,5で
7. $\mid\quad\mid\quad\mid\quad ¬Q~$ --I¬in4（厳密な仮定4）
8. $\mid\quad\mid\quad ¬P→¬Q~$ --I→3,7で（仮定3を閉じる）
9. $\mid\quad\mid\quad ⊥~$ -1,8で
10. $\mid\quad ¬(Q→P)~$ --I¬in2（厳密な仮定2）
11. $¬(¬P→¬Q)→¬(Q→P)~$ -I→1,10で（仮定1を閉じる）