自然界の「小さな」トポロジー？

Aug 29 2020

自然のすべてのサブセットのセットを検討してください。 $2^\Bbb{N}$。サブセットと呼びます$A \subseteq \Bbb{N}$ 小さい場合$\sum_{a \in A} \frac{1}{a} < \infty$、それ以外の場合は大きい。の小さなサブセットのセット$\Bbb{N}$、 $$X := \{ A \in 2^\Bbb{N}: A \text{ is small} \},$$任意の共通部分と有限和集合の下で閉じられます。これは、トポロジを定義できることを示しています。$\Bbb{N}$ 次のように：要素を呼び出す $U \in 2^{\Bbb{N}}$ co-small if$U^c := \Bbb{N} \setminus U$小さいです。次に、co-smallトポロジ$\Bbb{N}$ 自明でない開集合が存在するトポロジーです（つまり、 $\Bbb{N}$および空集合）は、co-smallセットです。co-smallセットのセットは、任意の和集合と有限交叉の下で閉じられるため、これはトポロジーです。このトポロジでは、$\Bbb{N}$ です $T_1$ （任意の2つの異なるポイントについて $a, b$ の近所があります $a$ から素 $b$ 逆もまた同様です）が、ハウスドルフではありません（2つの小さな集合には小さな交差があるため、異なる点の2つの近傍 $a, b$オーバーラップします）。で唯一のコンパクトセット$\Bbb{N}$このトポロジーの下には有限集合があります。しかしながら、$\Bbb{N}$ このトポロジでは離散的ではありません（1点セットを同じように小さくすることはできないため）。

質問：

このトポロジーの正式な名前はありますか？それは文献でまったく研究されていますか？です$\Bbb{N}$ 別の、よりよく知られている、または理解されている空間に同相のコスモールトポロジーで？
からの連続関数は何ですか $\Bbb{N}$定数関数や恒等関数のような些細な例は別として、co-smallトポロジーの下でそれ自体に？（からの唯一の連続マップ$\Bbb{N}$ 小さなトポロジーで $\Bbb{R}$通常のトポロジーには定数関数があります。）
私たちも考えることができます $\Bbb{N}$ 明白な測度を持つ離散測度空間として $$\mu(A) := \sum_{a \in A} \frac{1}{a}.$$すべての開集合には無限測度があり、有限測度の集合は閉じています。また、のすべての要素$2^\Bbb{N}$ 可測であり、そこからすべての関数が自明に続きます $f: \Bbb{N} \to \Bbb{R}$ または $\Bbb{C}$測定可能です。メジャーも適切にスケーリングされます。$\mu(kA) = \frac{\mu(A)}{k},$ どこ $kA := \{ ka: a \in A \}$。この尺度は、数論や組み合わせ論の興味深い問題に適用できますか？マップのエルゴード性を証明するために使用されますか？

回答

1 Ben Sep 07 2020 at 22:08

からの連続関数について $\mathbb N$ 小さなトポロジーでそれ自体に：

地図 $f\colon \mathbb N\to \mathbb N$ それが一定であるか、大きなセットを大きなセットにマップする場合にのみ、co-smallトポロジで連続です。

私はそれ以上の通知なしに以下の観察を使用します：

小さなセットのサブセットは小さいです。大きなセットのスーパーセットは大きいです。
$\overline X=\mathbb N$ すべての大規模な $X$。
Co-smallセットは大きいです。

上記の私の主張の証拠に飛び込みましょう。もちろん、$f\colon \mathbb N\to \mathbb N$ 継続的である場合に限り $f(\overline{X})\subset \overline{f(X)}$ すべてのために $X\subset \mathbb N$。場合$X$閉じている場合、これは些細なことです。場合$X$ 閉じていません。つまり、小さくもすべても閉じていません。 $\mathbb N$、その後 $\overline X= \mathbb N$ だから条件 $f$ 継続的であることは、すべての大規模なもののためのものです $X$ 私たちは持っている必要があります $f(\mathbb N)\subset \overline{f(X)}$。区別する2つの本質的に異なるケースがあります。$f( \mathbb N)$ 小さいかどうか。

場合 $f(\mathbb N)$ 大きいので $f$ 次回に続く、 $\overline{f(X)}$大きなセットを含める必要があるため、それ自体を大きくする必要があります。しかしその後$f(X)$そもそも大きかったに違いない。逆に、$f$ 大きなセットを大きなセットにマップし、次に明確に $f(\mathbb N)\subset \mathbb N=\overline{f(X)}$、望んだ通りに。

場合 $f( \mathbb N)$ 小さいので、それぞれも小さいです $f(X)$; したがって、$f(X)=f(\mathbb N)$ すべての大規模な $X$、ために $f(X)\subset f(\mathbb N)\subset \overline{f(X)}=f(X)$。私はそれが可能であると主張します$f$ は一定です。

実際、 $m\in f(\mathbb N)$任意であること。以来$\{m\}$小さいです、それは閉じています。したがって、$f^{-1}m$ 閉じているため、小さいかすべて $\mathbb N$。後者の場合は、$f$は一定です。前者のケースを除外することは残っています：$f^{-1}m$ 小さかった、そして $X=\mathbb N-f^{-1}m$ 小さく、したがって大きく、満足できる $f(X)=f(\mathbb N)-m\subsetneq f(\mathbb N)$、矛盾。これで証明は完了です。