商トポロジーの例をいくつか挙げてください。[閉まっている]

Dec 24 2020

商トポロジーの簡単な例をいくつか挙げてください。

私の試み:ここにいくつかの例がありますが、例を理解するのに困難に直面しています

わかりやすい例が必要です

私はの定義を知っています

商トポロジー$X$ 位相空間であり、 $~$ の同値関係 $X$。すべてのための$x \in X$ 、で表す $[x]$ その同値類。の商空間 $X$ モジュロ $ \sim$ セットによって与えられます

$X/\sim~ =\{[x] : x \in X \}$

投影図があります $p: X \to /\sim ,x \to [x]$ そして私達は装備します $X/\sim$ トポロジー別

$U\subseteq$ $X/ \sim~$ 次の場合にのみ開いています $p^{-1}(u)$ のオープンサブセットです $X$

回答

4 GEdgar Dec 24 2020 at 04:04

これが良い例です:コンパクトな間隔から始めます $[0,1]$。「エンドポイントを特定する」ことで、(トポロジ)円を取得します。これはあなたの同値関係が$x \sim y$ どちらか $x=y$ またはそうでなければ $\{x,y\} = \{0,1\}$

他の一般的なものは正方形で始まります $[0,1] \times [0,1]$特定の方法で境界を識別します。境界のポイントを特定する方法に応じて、(トポロジカル)球、円柱、メビウスの帯、トーラス、クラインの壺などを取得できます。