証明： $(\Delta x)(\Delta \lambda) \geq \frac{\lambda^2}{4\pi}$
現在、私は式を試していました
$$(\Delta x)(\Delta p)\geq\frac{h}{4\pi}$$
もちろん、これはハイゼンベルクの不確定性原理の同封の形式です。しかし、私もこの式を取得します
$$(\Delta x)(\Delta \lambda)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}.$$
これはハイゼンベルグの原理の延長だと思いますが、本にはそのようなメモはありませんでした。さらに、それはおそらくドブロイの仮説から来たものであり、微積分かもしれないと思いますが、それは単なる推測です。したがって、これらの理由から、私はあなたからの回答を望んでいます。さらに、ハイゼンベルグの原理の場合と同様に、この式を物理的に解釈する方がよいでしょう。
回答
2つの任意の演算子の一般的な不確定性原理から始めます$\Omega$ そして $\Phi$ $$(\Delta\Omega)^2(\Delta\Phi)^2\geq\frac{1}{4}\left|\langle \psi | [\Omega,\Phi] | \psi\rangle\right|^2$$ どこ $|\psi\rangle$ 任意の状態であり、 $[\Omega,\Phi]=\Omega\Phi-\Phi\Omega$、整流子。私たちはドブロイからそれを知っています$\lambda=\frac{h}{p}$; これから、の位置ブラケットを計算します$x$ そして $\lambda$ なので $$\begin{align}\{\lambda,x\}&=\frac{\partial \lambda}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial p}-\frac{\partial x}{\partial x}\frac{\partial\lambda}{\partial p}\\ &=\frac{h}{p^2}\\ &=\frac{\lambda^2}{h}\end{align}$$ さて、ディラックの量子化の一般的なルール（多くの場合に機能します）は、 $$\{\omega,\phi\}=\frac{2\pi}{i h}[\Omega,\Phi]$$ だから私たちは持っています $$[\Lambda, X]=i\frac{\Lambda^2}{2\pi}$$。これを元の一般的な不確定性原理に組み込むと、$$(\Delta\Lambda)^2(\Delta X)^2\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle^2}{16\pi^2}$$ したがって $$(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}$$ さて、標準偏差の定義から、次のことがわかります。 $(\Delta X )^2+\langle X\rangle^2=\langle X^2\rangle$、だから私たちは持っています $$\begin{align} (\Delta\Lambda)(\Delta X)&\geq\frac{\langle \Lambda^2 \rangle}{4\pi}\\ &\geq\frac{1}{4\pi}((\Delta\Lambda)^2+\langle\Lambda\rangle^2) \\ &\geq\frac{\langle\Lambda\rangle^2}{4\pi} \end{align} $$標準偏差が正定値であるためです。したがって、の期待値を示す$\Lambda$ なので $\lambda$、ついに $$\bbox[5px,border:2px solid black]{(\Delta\Lambda)(\Delta X)\geq\frac{\lambda^2}{4\pi}}$$この不確実性の原則は、通常の位置-勢いのものとは異なります。不確かさの積が常に定数よりも大きいのではなく、位置と波長の標準偏差の積が、波長の平均値をで割った値以上になります。$4\pi$。したがって、位置と波長の不確実性を波長の平均値に関連付けます。