証明してください $2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$ [複製]
私はアルゴリズムのために証明しようとしています-与えられた目的 $a,b,n$ 正の整数: $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n$$ 私は誘導によって試みました、そして次のようにステップを得ました: $$2^{n}(a^{n+1}+b^{n+1})\geq^?(a+b)^{n+1}$$ 二項式展開を使ってみました $(a+b)^n=\sum^n_{k=0} {{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}$ そして最後の要素を除外します $$(a+b)^{n+1}=\sum^{n+1}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k+1}=\sum^{n}_{k=0} {{n+1}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=\sum^{n}_{k=0} (n+1){{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}b+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0=[(n+1)b]\sum^{n}_{k=0}{{n}\choose{k}}a^kb^{n-k}+{{n+1}\choose{n+1}}a^{n+1}b^0$$$$=[(n+1)b](a+b)^n+a^{n+1}\leq[(n+1)b]\times2^{n-1}(a^n+b^n)+a^{n+1}$$ これまでのところすべてが正しいと仮定すると、そこから先に進んで取得する方法はありません $\leq 2^n(a^{a+1}+b^{n+1})$
私の2番目の試みは、次の手順を実行することでした。 $$2^{n-1}(a^n+b^n)\geq(a+b)^n \setminus\cdot(a+b)$$ $$2^{n-1}(a^n+b^n)(a+b)\geq(a+b)^{n+1}$$ $$2^{n-1}(a^{n+1}+b^{n+1}+a^nb+b^na)\geq(a+b)^{n+1}$$ 今、私は排除する方法がわかりません $a^nb+b^na$、に進みます $2^n$
これを証明する別の方法はありますか?または私のステップを続行するためのヒントはありますか?
回答
再配置不等式から、次のようになります。 $$a^n+b^n\geq a^i\cdot b^{n-i}+a^{n-i}\cdot b^i$$
$$(a+b)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}a^ib^{n-i}\leq\frac{a^n+b^n}{2}\sum_{i=1}^{n}\binom{n}{i}$$
まさにあなたが望むものです