証明してください $|\sin 1| + |\sin 2| + |\sin 3| +\cdots+ |\sin 3n| > 8n/5$ [複製]

Nov 23 2020

したがって、質問は次のとおりです。

テイラー展開やAM-GM不等式の使用など、かなりの数のアプローチを試しましたが、役に立ちませんでした。この問題が証明できれば、とても助かります。

編集：角度はラジアンで、 $n$ 自然数です。

回答

5 QC_QAOA Nov 24 2020 at 05:05

補題：関数

$$f(x)=|\sin(x)|+|\sin(x+1)|+\sin(x+2)|>\frac{8}{5}$$

すべてのために $x\in\mathbb{R}$。

証明：上記の式が次の式に当てはまることを示すだけで十分です。 $x\in [0,2\pi]$。関数は、を除いて区分的に微分可能です。

$$x\in \{0,\pi,\pi-1,2\pi-1,\pi-2,2\pi-2,2\pi\}$$

次に $f(x)$ 書き直すことができます

$$f(x)=\begin{cases} f_1(x)=\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2) & 0\leq x\leq \pi-2 \\ f_2(x)=\sin(x)+\sin(x+1)-\sin(x+2) & \pi-2\leq x\leq \pi-1 \\ \vdots \\ f_6(x)=-\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2) & 2\pi-1\leq x\leq 2\pi \end{cases}$$

次に、これらの各間隔を取り、証明することができます $f_i(x)>\frac{8}{5}$。ために$i=1$、我々は持っています

$$f_1(x)=\sin(x)+\sin(x+1)+\sin(x+2)$$

$$=-\sin ^2(1) \sin (x)+\sin (x)+\cos ^2(1) \sin (x)+2 \sin (1) \cos (1) \cos (x)+\sin (1) \cos (x)+\cos (1) \sin (x)$$

ご了承ください

$$f_1(0)=\sin (1)+2 \sin (1) \cos (1)>\left(1-\frac{1}{3!}\right)+2\left(1-\frac{1}{3!}\right)\left(1-\frac{1}{2!}\right)=\frac{5}{3}>\frac{8}{5}$$

$$f_1(\pi-2)=\sin (1)+\sin (2)>\left(1-\frac{1}{3!}\right)+\left(2-\frac{2^3}{3!}+\frac{2^5}{5!}-\frac{2^7}{7!}\right)=\frac{1097}{630}>\frac{8}{5}$$

（テイラー級数展開を使用して、 $\sin(1),\sin(2)$、および $\cos(1)$）。したがって、のエンドポイントで$[0,\pi-2]$ 私たちは知っています $f_1(x)>\frac{8}{5}$。今、私たちが得る導関数を取る

$$f_1^{'}(x)=\cos (x)+\cos (x+1)+\cos (x+2)=(1+2 \cos (1)) \cos (x+1)$$

これは簡単に解決でき、区間のゼロだけがわかります $[0,\pi-2]$ です $x=\frac{\pi }{2}-1$。最後のステップは、導関数をもう一度取得することです。

$$f_1^{''}(x)=-(1+2 \cos (1)) \sin (x+1)$$

以来

$$\cos(1)>1-\frac{1}{2!}=\frac{1}{2}>0$$

私たちは知っています

$$f_1^{''}(x)=-(1+2 \cos (1)) \sin (x+1)<0$$

ために $x\in [0,\pi-2]$。すべてをまとめると、

$$f_1(0)>\frac{8}{5}$$

$$f_1(\pi-2)>\frac{8}{5}$$

$$f_1^{'}(x)\text{ has a single zero on the interval}$$

$$f_1^{''}(x)<0\text{ on the interval}$$

これらの条件は、 $f_1(x)>\frac{8}{5}$ すべてのために $x\in[0,\pi-2]$。残りのケースは、とほぼ同じ方法で証明できます。$i=1$場合。これにより、補題が証明されます。

定理：有限和

$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\frac{8}{5}n$$

証明：見出語による（ $x=3i-1$）、合計の各部分がより大きいことがわかっています $\frac{8}{5}$。次に

$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\sum_{i=0}^{n-1}\frac{8}{5}=\frac{8}{5}n$$

そして定理が証明されます。

編集：いくつかの数値例を行った後、これを含めました。のようだ

$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n}\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)=1.9098...$$

ある点、これはリーマン和のように見えます（少なくとも有限和の前の分数）。第二に、限界が実際に存在する場合、その推測は有限数を除くすべてに当てはまります。$n$ すべてのために $x<1.9098...$。つまり、$x<1.9098...$ 次に、有限数を除くすべての $n$

$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>xn$$

たまたまそうなる $\frac{8}{5}$厳密な境界ではありません。実際、すべての人に役立つはずのより厳しい限界$n$ です $\frac{42}{25}$。あれは

$$\sum_{i=0}^{n-1} \bigg(|\sin(3i+1)|+|\sin(3i+2)|+|\sin(3i+3)|\bigg)>\frac{42}{25}n$$

すべてに当てはまります $n$。これを証明するには、テイラー級数展開のより多くの項が必要になります。$\sin(1),\cos(1),$ そして $\sin(2)$ （または他の拡張）。

編集2：最後の編集、私はそこまでの制限（編集1）がリーマン和に似ていることに気づきました。具体的には

$$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \bigg(|\sin(x)|+|\sin(x+1)|+|\sin(x+2)|\bigg)dx=\frac{12}{2\pi}=\frac{6}{\pi}=1.90986...$$

これが限界が収束しているように見えたものです。それにはいくらかの罰金が必要です（おそらく、自然数がモジュロを法として等分配されているという事実を使用する必要があります$2\pi$）、しかし私は今、上記の制限が実際に存在し、それが等しいと確信しています $\frac{6}{\pi}$。