証明する $\dim V / U$ 等しい $\dim V - \dim U$ 階数退化なし
Artinによる代数から：
これに基づいて、 $\varphi(G) \longrightarrow G/K$ によって定義されます $\varphi(g) \mapsto gK$ （の画像からの群同型です $\varphi$）カーネルの剰余類に、そう $\varphi(G) \cong G/K$。
場合 $V$ ベクトル空間であり、 $K$ の部分空間です $V$、電話 $V/K = \{ v + K : v \in V\}$商空間。直感的な操作で$(v + K) + (u + K) = (v + u) + K$ そして $\lambda(v + K) = (\lambda v) + K$、商空間はベクトル空間です。
上記の群同型は自然にベクトル空間同型に拡張されます $T:V \longrightarrow V'$、証明 $\text{im}T \cong V/K$、 どこ $K = \ker T$。
今私たちが証明すれば $\dim V / K = \dim V - \dim K$、階数退化定理は当然の結果として外れます。
しましょう $\pi$ からの標準マップになります $V$ に $V/K$、すなわち $\pi(v) = v + K$、カーネルで全射 $K$。階数退化定理は、次の証明を完成させます。$\dim V / K = \dim V - \dim K$。
しかし、いつ、どのように証明できますか $K$ は有限次元の部分空間です $V$、 それ $\dim V / K = \dim V - \dim K$？WITHOUTランクNULLかどうかの定理を使って。
編集：明確にするために、階数退化定理は、 $T:V \longrightarrow W$ そして $V$ は有限次元であり、次にランク（の次元 $\text{im}T$）プラスヌル性（の次元 $\ker T$）等しい $\dim V$。
回答
次の結果を使用するのはどうですか。
命題。場合$K$ ベクトル空間の部分空間です $V$ そして $V/K$ は有限次元であり、 $$ V \cong K \times (V/K) .$$
証明。しましょう$v_{1} + K, \ldots, v_{n} + K$ の基礎となる $V/K$。次に、$v \in V$ スカラーが存在します $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ そのような $$ v + K = \alpha_{1}(v_{1} + K) + \ldots + \alpha_{n}(v_{n} + K).$$ ここで線形写像について考えてみましょう $\varphi: V \rightarrow K \times (V/K) $ マッピングによって定義されます $v \in V$ に
$$ \left( v - \sum_{i=1}^{n}\alpha_{i} v_{i} \hspace{0.2cm}, \hspace{0.2cm} v + K \right) .$$ この線形写像は同型です。 $\square$
編集1.当然の結果として、$V$は有限次元です。次に$K$ は有限次元であり、 $V/K$ 何らかの根拠があるため、同様に有限次元でなければなりません $v_{1}, \ldots, v_{n}$ の $V$、 リスト $v_{1} + K, \ldots, v_{n} + K$ 生成します $V/K$。以前の結果を使用して：
$$ \dim V = \dim \left( K \times (V/K) \right) = \dim K + \dim V/K. $$
編集2.それを証明しましょう$\varphi$全単射です。最初に仮定します$v \in V$ そのようなものです $\varphi(v) = ( 0_{V}, K )$。そのことに注意してください$0_{V}$ の加法単位元です $K$ そして $K$ の加法単位元です $V/K$、 そう $(0_{V}, K)$ の加法単位元です $K \times (V/K)$。の定義による$\varphi$、それはそれに続く $$ v + K = K = 0 \cdot (v_{1} + K) + \ldots + 0 \cdot (v_{n} + K) ,$$ そう $$ v - \sum_{i=1}^{n} 0 \cdot v_{i} = 0_{V} $$ そして $v = 0_{V}$。したがって、$\ker \varphi = \{ 0_{V} \}$ そして $\varphi$ 単射です。
全射性を証明するために、任意の要素を検討します $(u, v + K)$ の $K \times (V/K)$。以来$V/K$ 有限次元です、私たちは書くことができます $$ v + K = \alpha_{1}(v_{1} + K) + \ldots + \alpha_{n}(v_{n} + K).$$ ベクトルを見てみましょう $$u + \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i}$$ に $V$。このベクトルの同値類は正確に$$ \alpha_{1}(v_{1} + K) + \ldots + \alpha_{1}(v_{n} + K) = v + K, $$ そう $$ \varphi \left( u + \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i} \right) = \left( u + \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i} - \sum_{i=1}^{n} \alpha_{i} v_{i} \hspace{0.2cm}, \hspace{0.2cm} v + K \right) = (u, v + K). $$
の基礎を取る $K$ それは持っています $m=dim K$要素。それは線形に独立しています$V$、したがって、の基礎に拡張することができます $V$ 追加することにより $r=dim V-m$ 要素 $ v_1,...v_r$ 次に $v_1+K,...,v_r+K$ で線形独立 $V/K$そしてそれにまたがる。したがって、因子空間の薄暗いは$r$ 主張されているように。
場合 $K = \left\{ \mathbf{0}_V \right\}$、 どこ $\mathbf{0}_V$のゼロベクトルを示します$V$、その後 $\dim K = 0$、そしてまた $$ V/K = \big\{ \, \{ v \} \colon v \in V \, \big\}, $$ など $$ \dim V/K = \dim V = \dim V - \dim K. $$
それで、部分空間が $K$ ゼロ以外のベクトルもあります。
それを仮定しましょう $\dim K = m$、そして $\left( e_1, \ldots, e_m \right)$ の基礎（実際には順序付けられた基礎）である $K$。
それを仮定しましょう $\dim V = n$。
場合 $K = V$、そしてもちろん $$ V/K = \big\{ K \big\} $$ そのため $$ \dim V/K = 0 = \dim V - \dim K. $$
だから私たちはそれを仮定しましょう $K$の適切な部分空間です$V$。そしてもちろん$n > m$、および順序ベース $\left( e_1, \ldots, e_m \right)$ 部分空間の $K$ 注文ベースに拡張できます $\left( e_1, \ldots, e_m, e_{m+1}, \ldots, e_n \right)$ スペース全体のために $V$、一部のベクトルの場合 $e_{m+1}, \ldots, e_n \in V \setminus K$。
ここで、（順序付けられた）セットが $\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$ 商空間の基底（つまり、順序付けられた基底）を形成します $V/K$。
しましょう $v+K$ の任意の要素である $V/K$、 どこ $v \in V$。
なので $v \in V$ そしてとして $\left( e_1, \ldots, e_m, e_{m+1}, \ldots, e_n \right)$ の順序付けられた基礎です $V$、 したがって、この $v$ ベクトルの線形結合として一意に表現できます $e_1, \ldots, e_m, e_{m+1}, \ldots, e_n$; つまり、ユニークなものが存在します$n$-タプル $\left( \alpha_1, \ldots, \alpha_m, \alpha_{m+1}, \ldots, \alpha_n \right)$ そのようなスカラーの $$ v = \alpha_1 e_1 + \cdots + \alpha_m e_m + \alpha_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \alpha_n e_n. $$ そして、として $e_1, \ldots, e_m \in K$ そしてとして $K$ は（ベクトル部分空間）の $V$、だから私たちは得る $$ \begin{align} v+K &= \left( \alpha_1 e_1 + \cdots + \alpha_m e_m + \alpha_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \alpha_n e_n \right) + K \\ &= \left( \alpha_1 e_1 + K \right) + \cdots \left( \alpha_m e_m + K \right) + \left( \alpha_{m+1} e_{m+1} + K \right) + \cdots + \left( \alpha_n e_n + K \right) \\ &= \alpha_1 \left( e_1 + K \right) + \cdots \alpha_m \left( e_m + K \right) + \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right) \\ &= \alpha_1 K + \cdots + \alpha_m K + \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right) \\ &= \underbrace{K + \cdots + K}_{\mbox{$m$ terms}} + \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right) \\ &= K + \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right) \\ &= \alpha_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots + \alpha_n \left( e_n + K \right). \end{align} $$ ご了承ください $K$は商（ベクトル）空間のいわゆるゼロベクトルです$V/K$。したがって、順序集合$\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$ スパン $V/K$。
私たちは今それを示しています $\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$線形独立です。このために、いくつかのスカラーについて$\beta_{m+1}, \ldots, \beta_n$、 我々は持っています $$ \beta_{m+1} \left( e_{m+1} + K \right) + \cdots \beta_n \left( e_n + K \right) = K. $$ もう一度注意してください $K$は商（ベクトル）空間のいわゆるゼロベクトルです$V/K$。上記の式は次のように書き直すことができます。$$ \left( \beta_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \beta_n e_n \right) + K = K, $$ これは、 $$ \beta_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \beta_n e_n \in K, $$ そしてとして $\left( e_1, \ldots, e_m \right)$ の順序付けられた基礎です $K$、だからユニークな存在があります $m$-タプル $\beta_1, \ldots, \beta_m$ そのようなスカラーの $$ \beta_{m+1} e_{m+1} + \cdots + \beta_n e_n = \beta_1 e_1 + \cdots + \beta_m e_m, $$ これは、 $$ \beta_1 e_1 + \cdots + \beta_m e_m - \beta_{m+1} e_{m+1} - \cdots - \beta_n e_n = \mathbf{0}_V, $$ どこ $\mathbf{0}_V$のゼロベクトルを示します$V$、およびベクトル以来 $e_1, \ldots, e_m, e_{m+1}, \ldots, e_n$ 基底ベクトルは線形独立であるため、次のように結論付けることができます。 $$ \beta_1 = \cdots = \beta_m = \beta_{m+1} = \cdots = \beta_n = 0, $$ したがって、特に $$ \beta_{m+1} = \cdots = \beta_n = 0, $$ したがって、の線形独立性を示します $\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$。
したがって、 $\left( e_{m+1} + K, \ldots, e_n + K \right)$ の（注文された）基礎です $V/K$、それは $$ \dim V/K = n - m = \dim V - \dim K, $$ 要求に応じ。