縮退した時間に依存しない摂動論はどのように機能しますか？[複製]
時間に依存しない摂動論の通常の設定を考えてみましょう。
$$H=H_0+\varepsilon H'$$
次に、通常の拡張を設定できます。
$$(H_0+\varepsilon H')[|n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]=(E_n^{(0)}+\varepsilon E_n^{(1)}+\varepsilon ^2 E_n^{(2)}+...)[n_0\rangle+\varepsilon |n_1\rangle+\varepsilon ^2 |n_2\rangle+...]$$
簡単に言うと、摂動論を使用して問題を解決する必要がある場合、関心があるのは、固有状態と固有値の補正を計算する方法だけです。
時間に依存しない非縮退摂動論の場合、補正の公式がわかれば、このタスクは簡単に実行できます。
$$E^{(k)}_n=\langle n_0|H'|n_{k-1}\rangle$$ $$|n_k\rangle=\frac{1}{H_0+E^{(0)}_n}|_{|n_0\rangle}[(E_n^{(1)}-H')|n_{k-1}\rangle+E_n^{(2)}|n_{k-2}\rangle+.....+E_n^{(k)}|n_0\rangle]$$
完了！素晴らしい！しかしもちろん、ハミルトニアンが縮退している場合はどうなりますか？教科書で、古い式が機能しない理由を見つけました。また、摂動が縮退をキャンセルする場合もあれば、キャンセルしない場合もあることも理解しました。また、縮退空間で行列を対角化する必要性についての話もあります（この最後の点は現時点では明確ではありません）。OK。しかし実際には、縮退した場合の摂動展開をどのように設定して解決できますか？ 修正の公式は何ですか？（数式が機能する理由を知ることも良いでしょうが、それはこの質問の要点ではありません）
簡単な質問ですが、本や講義ノートに直接の答えが見つからないようです。簡潔でわかりやすい回答をお願いします。このトピックは初心者として私には本当に複雑に思えます、そして私はここで何が起こっているのか要約したいと思います。特に実用的な観点から、退化した場合の演習と拡張をどのように解決できるかについて。
回答
縮退状態の摂動理論の背後にある主な考え方は、修正だけでなく、修正されている状態も見つけることです。特定の州のみが小さな修正を取得し、他の州はによって修正されます$O(1)$条項。簡単な例として考えてみましょう。次のハミルトニアン\ begin {equation} H = \ left（\ begin {array} {ccc} m＆\ varepsilon \\ \ varepsilon＆m \ end {array} \ right）、\ end {で与えられる2レベルシステムを考えます。方程式}と$\varepsilon \ll m$。システムは、\ begin {equation} E_ \ pm = m \ pm \ varepsilon ~~ \ text {and} ~~ |を与えることで正確に解くことができます。\ psi_ \ pm \ rangle = \ left（\ begin {array} {ccc} 1 \\ \ pm 1 \ end {array} \ right）。\ end {equation}ここで、摂動論を使用してこの結果を取得しようとしたと想像してください。摂動されていないハミルトニアンは\ begin {equation} H = \ left（\ begin {array} {ccc} m＆0 \\ 0＆m \ end {array} \ right）、\ end {equation}は縮退した固有状態\ begin {方程式} | \ psi ^ {（0）} \ rangle = c_1 \ left（\ begin {array} {c} 1 \\ 0 \ end {array} \ right）+ c_2 \ left（\ begin {array} {c} 0 \ \ 1 \ end {array} \ right）、\ end {equation}すべてエネルギーあり$E^{(0)}=m$。摂動されていない状態を\ begin {equation} |に選択した場合にのみ明らかです。\ psi ^ {（0）} _ {1,2} \ rangle = \ left（\ begin {array} {ccc} 1 \\ \ pm 1 \ end {array} \ right）\ end {equation}による修正摂動は小さい（この場合は消える）。システムを正確に解かずに、どうすればその結果を得ることができますか？そのために、摂動されていないシステムの任意の基礎を選択しています$| \varphi_i \rangle$そして、「真の」摂動されていない（そして摂動された）固有状態をそれらの線形結合として表現します。\ begin {equation} | \ psi ^ {（0）} _ i \ rangle = c ^ {（0）} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle、~~ \ text {and} ~~ | \ psi ^ {（1）} _ i \ rangle = c ^ {（1）} _ {ij} | \ varphi_j \ rangle。\ end {equation}次にシュレディンガー方程式を乗算します\ begin {equation}（H_0 + \ varepsilon V）\ left（| \ psi ^ {（0）} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {（1）} _ i \ rangle \ right）=（E ^ {（0）} + \ varepsilon E ^ {（1）} _ i）\ left（| \ psi ^ {（0）} _ i \ rangle + \ varepsilon | \ psi ^ {（1 ）} _ i \ rangle \ right）\ end {equation} by$\langle \phi_k |$1は、取得{式} \ sum_ {J} \ langle \ varphi_kを開始\ | V | \ varphi_j \ rangle c_ {ij} ^ {（0）} = E_i ^ {（1）} c_ {ik} ^ {（0）}。\ end {equation}インデックスを省略する$i$私たちは、これらの式は何もありませんが、固有状態のための方程式がいることがわかり、{式} \ sum_j V_ {KJ} c_j = E ^ {（1）} c_k、\エンド{式}始める\ことを意味します$\det (V-E^{(1)})=0$。この方程式から$E_i^{(1)}$ そして $c_{ij}^{(0)}$ 同時に導出されます。
例に戻ると、\ begin {equation} |を選択できます。\ varphi_1 \ rangle = \ left（\ begin {array} {ccc} 1 \\ 0 \ end {array} \ right）、~~ \ text {and} ~~ | \ varphi_2 \ rangle = \ left（\ begin {array} {ccc} 0 \\ 1 \ end {array} \ right）。\ end {equation}シュレディンガー方程式は\ begin {equation} \ left（\ begin {array} {cc} m＆\ varepsilon \\ \ varepsilon＆m \ end {array} \ right）\ left（\ begin {array } {ccc} c_ {i1} ^ {（0）} + \ varepsilon c_ {i1} ^ {（1）} \\ c_ {i2} ^ {（0）} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {（1 ）} \ end {array} \ right）= \ left（m + \ varepsilon E_i ^ {（1）} \ right）\ left（\ begin {array} {ccc} c_ {i1} ^ {（0）} + \ varepsilon c_ {i1} ^ {（1）} \\ c_ {i2} ^ {（0）} + \ varepsilon c_ {i2} ^ {（1）} \ end {array} \ right）、\ end {equation}または簡略化後\ begin {equation} \ varepsilon \ left（\ begin {array} {ccc} c_ {i2} ^ {（0）} \\ c_ {i1} ^ {（0）} \ end {array} \ right ）= \ varepsilon E_i ^ {（1）} \ left（\ begin {array} {ccc} c_ {i1} ^ {（0）} \\ c_ {i2} ^ {（0）} \ end {array} \ right）、\ end {equation}その解は\ begin {equation} E ^ {（1）} = \ pm 1、~~ \ text {for} ~~ \ left（\ begin {array} {ccc} 1 \ \ \ pm 1 \ end {array} \ right）、\ end {equation}これはまさに以前のものです。
あなたが興味を持っているのは世俗方程式と呼ばれています。
古典的な情報源は、Landau＆Lifshitzの第2巻です。 https://books.google.ru/books?id=neBbAwAAQBAJ&pg=PA110&hl=ru&source=gbs_selected_pages&cad=2#v=onepage&q&f=false
しましょう $\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$ 同じ固有値に属する固有関数である $E_n^{(0)}$。沿って$\psi_{n}^{(0)}, \psi_{n^{'}}^{(0)}$任意の方法で選択された、摂動されていない関数を想定しています。ゼロ次の正しい固有関数は、次の形式の線形結合です。$$ c_{n}^{(0)} \psi_{n}^{(0)} + c_{n^{'}}^{(0)} \psi_{n^{'}}^{(0)} + \ldots $$
エネルギーの摂動の一次置換 $E_n^{(0)} + E^{(1)}$ あなたの投稿の2番目の方程式に次のようになります。 $$ E^{(1)} c_{n}^{(0)} = \sum_{n^{'}} H_{n n^{'}} c_{n^{'}}^{(0)} $$ または、次のように書き直します。 $$ \sum_{n^{'}} (H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}})c_{n^{'}}^{(0)} = 0 $$この方程式は、システムを定義する行列が縮退している場合にのみ、右辺がゼロのシステムとして解を持ちます。正方行列の場合、行列式の消失と同等です。$$ \boxed{\det(H_{n n^{'}} - E^{(1)} \delta_{n n^{'}}) = 0} $$
この方程式は、前述の世俗的な方程式です。そして固有値$E^{(1)}$ 摂動のがエネルギー補正を決定し、方程式の解は係数を決定します $c_{n^{'}}^{(0)}$。
縮退した場合の拡張を設定することは可能ですが、それは「正しい」基準を使用する場合に限られます。「正しい」基底は、対象の縮退した部分空間の摂動を対角化するこの基底です。次に、構築により、この部分空間、つまり基底ベクトルを使用したこの新しい基底に非対角項はありません。$\vert\alpha_i\rangle$ そのため $\hat V\vert\alpha_i\rangle=\lambda_i\vert\alpha_i\rangle$、 あなたが持っている $\langle \alpha _k\vert \hat V\vert \alpha_j\rangle=\delta_{kj}$ だからあなたは決して割りません $0$ 拡張には用語が含まれていないため $k=j$。
この新しい基準を使用すると、問題が縮退していないかのように続行できます。摂動が発生した場合でも、手順は失敗する可能性があります$\hat V$対象の縮退部分空間で固有値を繰り返しました。この場合、何もする必要はありません。つまり、残りの縮退状態に対して明らかな摂動展開は存在しません。