収束の分析における誘導の適用は、再帰的に定義されたシーケンスです。
しましょう $\left\{a_{n}\right\}$ によって再帰的に定義される $$ a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}}, \quad n \geq 1 $$ どちらを決定する $a_{1}$ シーケンスは収束し、収束の場合はその限界を見つけます。
私のアプローチ：注意してください$$a_{n +1}=\frac{1}{4-3a_{n}}, \quad n\geq 1$$ だから、まず見つけたい $a_{n}$。今、私はパターンを見つけようとしていましたが、これを見つけることができません\ begin {eqnarray *} n = 1＆\ implies＆a_ {2} = \ frac {1} {4-3a_ {1}} = \ frac {（3 ^ {2-1} -1）-（3 ^ {2-1} -3）a_ {1}} {（2 ^ {2}）-（3 ^ {2} -6）a_ {1 }} \\ n = 2＆\ implies＆a_ {3} = \ frac {1} {4-3a_ {2}} = \ frac {1} {4-3 \ left（\ frac {1} {4- 3a_ {1}} \ right）} = \ frac {4-3a_ {1}} {4（4-3a_ {1}）-3} \\ \ vdots＆\ implies＆\ vdots \\ \ end {eqnarray * }知っていれば$a_{n}=a_{n}(a_{1})$、だから私は結論のために分母を分析することができます $a_{n}$ 定義されていません。
見つける方法 $a_{n}$？
また、私はこの問題がここで答えられたことを知っています。しかし、私たちは、帰納法を使用して基本的な解決策を見つけることができると思います$n$。
回答
シーケンスが収束する場合 $L$、再発の両側で制限を取ることは、
$$L=\frac1{4-3L}\,,$$
または $3L^2-4L+1=0$。二次因子はうまく：$(3L-1)(L-1)=0$、したがって、可能な制限は $L=\frac13$ そして $L=1$。
明らかに、シーケンスは未定義です。 $a_1=\frac43$ そして一定の場合 $a_1=\frac13$ または $a_1=1$。
- 場合 $a_k<1$、その後 $1<4-3a_k$、および $0<a_{k+1}<1$。
- 場合 $a_k>\frac43$、その後 $a_{k+1}<0$、 そう $0<a_{k+2}<1$。
- 場合 $1<a_k<\frac43$、 $r=a_k-1$; その後$0<3r<1$、 そう $$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{1-3r}=\sum_{n\ge 0}(3r)^n>1+3r>a_k\,.$$ シーケンスに制限を設けることはできません $\left(1,\frac43\right]$、どちらかがヒットします $\frac43$ そして死ぬ、または $a_\ell>\frac43$ いくつかのための $\ell>k$、 その後 $a_n\in(0,1)$ すべてのために $n\ge\ell+2$。
したがって、 $a_1$ 実際には無限の非定数シーケンスを生成し、そのシーケンスは最終的に $(0,1)$。そこで何が起こりますか？
- 場合 $\frac13<a_k<1$、 $r=a_k-\frac13$。次に$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1-r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}r^n\,,$$ そう $$a_{k+1}-\frac13=\frac13\sum_{n\ge 1}r^n=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}r^n=ra_{k+1}<r=a_k-\frac13\,,$$ そして $a_{k+1}<a_k$。この場合、シーケンスはに収束する必要があります$\frac13$。
- 場合 $0<a_k<\frac13$、 $r=\frac13-a_k$。次に$$a_{k+1}=\frac1{4-3a_k}=\frac1{3(1+r)}=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n\,,$$ そう $$\begin{align*}\frac13-a_{k+1}&=\frac13-\left(\frac13+\frac13\sum_{n\ge 1}(-1)^nr^n\right)=\frac13\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^{n+1}\\&=\frac{r}3\sum_{n\ge 0}(-1)^nr^n=ra_{k+1}<r=\frac13-a_k\,,\end{align*}$$ そして $a_{k+1}>a_k$。再びシーケンスは収束します$\frac13$。
私たちは今それを示しました $a_1=1$ 一定のシーケンスを生成します $a_k=1$ すべてのために $k\ge 1$、および他のすべての初期値は、に収束するシーケンスのいずれかを生成します $\frac13$ またはいくつかの理由で最終的に死ぬもの $a_k=\frac43$。どの初期値についていくつかを決定することだけが残っています$a_k=\frac43$。
解決する $y=\frac1{4-3x}$ ために $x$、私たちはそれを見つけます $x=\frac{4y-1}{3y}=\frac43-\frac1{3y}$。しましょう$b_1=\frac43$、および $k\ge 1$ しましょう $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$。帰納法で簡単に表示できます$k$ それ $a_k=\frac43$ 場合に限り $a_1=b_k$、 そう $\{b_k:k\ge 1\}$ は収束シーケンスを生成しない初期値のセットであり、数値の閉じた形を見つけるためだけに残ります。 $b_k$。
私たちが書くなら $b_k$ 分数として $\frac{c_k}{d_k}$、その後
$$b_{k+1}=\frac{\frac{4c_k}{d_k}-1}{\frac{3c_k}{d_k}}=\frac{4c_k-d_k}{3c_k}\,,$$
そう $c_{k+1}=4c_k-d_k$、および $d_{k+1}=3c_k$、初期条件付き $c_1=4$ そして $d_1=3$。次に$c_{k+1}-d_{k+1}=c_k-d_k$、そう誘導によって $c_k-d_k=c_1-d_1=1$ すべてのために $k\ge 1$。その結果$c_{k+1}=d_{k+1}+1=3c_k+1$。再発を解決する$c_{k+1}=3c_k+1$ 初期値付き $c_1=4$ 標準的な方法では、
$$c_k=\frac{3^{k+1}-1}2$$
したがって、
$$d_k=\frac{3^{k+1}-3}2\,,$$
そのため
$$b_k=\frac{3^{k+1}-1}{3^{k+1}-3}\,.$$
更新：洞察力を与えてくれたBrian M.Scottに感謝します。
いくつかの場合を追加します $a_k=\frac 43$。ブライアンによると、シーケンスを解く必要があります$b_k$ そのような $b_1=\frac 43$、 $b_{k+1}=\frac{4b_k-1}{3b_k}$。これは同様の方法で解決できますが、$b_1$ 与えられます。
ご了承ください $$ b_{k+1} - 1 = \frac{b_k-1}{3b_k}$$$$ b_{k+1} - \frac 13 = \frac{b_k-\frac{1}{3}}{b_k}\tag 1 $$
から $(1)$ 結論 $b_k>\frac 13, \forall k$ 帰納法を介して。
次に $\frac{b_{k+1}-1}{b_{k+1}-\frac 13} = \frac{1}{3} \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} \implies \frac{b_k-1}{b_k-\frac 13} = \frac{1}{3^{k-1}} \left( \frac{b_1 - 1}{b_1 - \frac 13}\right) = \frac{1}{3^k}$
したがって、 $b_k = \frac{1 - \frac{1}{3^{k+1}}}{1-\frac{1}{3^l}} = \frac{3^{k+1} -1}{3^{k+1}-3}$ これはブライアンの結果と同じです。
元の答え：
以来 $1$ そして $\frac 13$ 特性方程式の根です $x=\frac{1}{4-3x}$、 我々は持っています
$$a_{n+1}-1 = \frac{3(a_n-1)}{4-3a_n}$$
$$a_{n+1}-\frac 13 = \frac{a_n-\frac 13}{4-3a_n}$$
そうでなければ $a_n = \frac 13$ あなたが持っている
$$\frac{a_{n+1}-1}{a_{n+1}-\frac 13} = 3 \frac{a_n-1}{a_n-\frac 13} = 3^n \frac{a_1-1}{a_1-\frac 13}$$
もちろん、あなたはその場合の世話をする必要があります $a_1=\frac 13$。
関数を定義する $$ f(a)=\frac1{4-3a}\tag1 $$ ご了承ください $$ \begin{align} f(a)-a &=\frac{(3a-1)(a-1)}{4-3a}\tag{2a}\\ &\left\{\begin{array}{} \lt0&\text{if }a\in\left(\frac13,1\right)\cup\left(\frac43,\infty\right)\\ \gt0&\text{if }a\in\left(-\infty,\frac13\right)\cup\left(1,\frac43\right) \end{array}\tag{2b} \right. \end{align} $$ の2つのシーケンスを検討してください $n\in\mathbb{Z}$、 $$ \begin{align} p_n &=\frac{3^{n-1}+1}{3^n+1}\tag{3a}\\ &=\frac13\left(1+\frac2{3^n+1}\right)\tag{3b} \end{align} $$ そして $$ \begin{align} q_n &=\frac{3^{n-1}-1}{3^n-1}\tag{4a}\\ &=\frac13\left(1-\frac2{3^n-1}\right)\tag{4b} \end{align} $$ どこ $q_0=\pm\infty$。
ご了承ください $$ \begin{align} f(p_n)&=p_{n+1}\tag{5a}\\ f(q_n)&=q_{n+1}\tag{5b} \end{align} $$ ここで、の場合 $q_0$、 $$ \begin{align} f(q_{-1})&=f\!\left(\tfrac43\right)=\infty=q_0\tag{6a}\\ f(q_0)&=f(\infty)=0=q_1\tag{6b} \end{align} $$ 間隔を定義する $$ \begin{align} P_n&=(p_{n+1},p_n)\tag{7a}\\ Q_n&=(q_n,q_{n+1})\tag{7b} \end{align} $$ どこ $Q_{-1}=\left(\frac43,\infty\right)$ そして $Q_0=\left(-\infty,0\right)$：
上のアニメーションでは、赤と緑の実線は $P_n$ そして $Q_n$。矢印は点線の間隔を指しています$P_{n+1}$ そして $Q_{n+1}$。次の場合、間隔は赤になります$f(a)\lt a$ その間隔で緑の場合 $f(a)\gt a$; これらの間隔については、$(2)$。
以来 $f'(a)\gt0$ を除いて $q_{-1}=\frac43$ （これは $Q_{-2 }$ そして $Q_{-1}$）、全単射があります $$ \begin{align} f&:P_n\to P_{n+1}\tag{8a}\\ f&:Q_n\to Q_{n+1}\tag{8b} \end{align} $$ 以来 $$ \bigcup_{n\in\mathbb{Z}}P_n\cup\bigcup_{n\in\mathbb{Z}}Q_n\cup\left\{p_n:n\in\mathbb{Z}\right\}\cup\left\{q_n:n\in\mathbb{Z}^{\ne0}\right\}=\mathbb{R}\tag9 $$ $(5)$ そして $(8)$ それを除くすべてのポイントについて $\left\{q_n:n\le0\right\}\cup\{1\}$、反復 $f$ に収束するシーケンスを生成します $\frac13$ （人はそれを言うかもしれません $q_{-\infty}=1$）。
ヒント：もし $a_1<1$、見やすい $a_n<1$ そして、 $b_n=a_n-\frac13$。場合$a_1\in(1,\frac43)$、見やすい $a_n\in(1,\frac43)$ そして、 $b_n=a_n-1$。あなたは残りをすることができます。
誘導なし。
私がこの質問に答えるために使用したここで説明されている手順に従うと、話が短くなります$$a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \qquad \text{with} \qquad a_1=c$$ $$a_n=\frac 13\frac{c \left(3^n-9\right)-(3^n-3) } {c(3^n-3)-(3^n-1) }$$
ここで、@ Brian M. Scottの優れた分析から優れた結果を得るには、さまざまなケースを検討する必要があります。