その証拠 $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ iff $f$ 単射です

Sep 14 2020

私はそれを示すつもりです $f\colon X\to Y$ どんな家族にとっても単射です $(A_{\lambda})_{\lambda\in L}$ のサブセットの $X$ 我々は持っています $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$。

まず、それを証明しましょう $f\colon X\to Y$そして $A\subset X$、 $f$ 単射です $A= f^{-1}(f(A))$

証明。（（$\Rightarrow$）。矛盾によって。場合$f$ 単射であり、 $x_1,x_2\in X$ 我々は持っています $x_1\neq x_2 \implies f(x_1)\neq f(x_2)$。選択$x_1\in A\subseteq X$ そして $x_2 \in X\setminus A$、それは明らかです $f(x_1)\in f(A)$ e $f(x_2)\in f(X\setminus A)$。その後、すべて$y\in f(A)$、なぜなら $f$ 単射であり、ユニークなポイントに対応します $x\in A\subseteq X$ そのような $f(x)=y$。その後、すべてのために$A\subseteq X$ 私たちはそれを言うことができます $f^{-1}(f(A))=A$。要素があった場合$x_3\in X\setminus A$ そのような $f(x_3)\in f(A)$、その後 $f$ 単射ではないので $f(x_3)\in f(A)$、それがにあるという理由だけで $f(A)$、いくつかに対応する必要があります $x_3\in A\subseteq X$。次に、の単射$f$ すべてのためにそれを意味します $A\subseteq X$ 我々は持っています $f^{-1}(f(A))=A$。

（（$\Leftarrow$）。矛盾によって。検討する$x_1\in A\subseteq X$ そして $x_2\in X\setminus A$。次に$f(x_1)\in f(A)$ そして $f(x_2)\not\in f(A)$。私たちはそれを持っています$f^{-1}(f(A)) = A$、次にすべての要素 $f(A)$ のいくつかの要素に対応します $A\subseteq X$。それを考慮してください$f$ 単射ではありません。つまり、 $f(x_1)=f(x_2)\in f(A)$ そして $x_1\neq x_2$。私たちはそれから$f^{-1}(f(A))\neq A$、なぜなら $x_2\not\in A$。次に、$f$ 単射です。

今、主な証拠に。

証明。その直接証明$f$ 単射です $\iff f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$。

\ begin {align *} f（x）\ in f（\ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda）＆\ iff x \ in f ^ {-1}（f（\ bigcap _ {\ lambda \ in L } A_ \ lambda））\\＆\ iff x \ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} A_ \ lambda \ \ text {because $f$ is injective} \\＆\ iff x \ in A_ \ lambda、\ text {for all} \ \ lambda \ in L \\＆\ iff f（x）\ in f（A_ \ lambda）、\ text {for all } \ \ lambda \ in L \\＆\ iff f（x）\ in \ bigcap _ {\ lambda \ in L} f（A_ \ lambda）\ end {align *}

これはできますか？

私はそれを示すことができませんでした $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ その後 $f$ という事実を使用せずに単射です $f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda) = \bigcap_{\lambda \in L} f(A_\lambda)$ 場合にのみ立つ $f^{-1}(f(\bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda)) = \bigcap_{\lambda\in L} A_\lambda$、これは、次の場合にのみ当てはまります。 $f$ 単射です。

回答

2 BrianM.Scott Sep 14 2020 at 01:42

はるかに単純な議論が可能です。それが常に真実であることは簡単にわかります

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]\subseteq\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$$

どんな家族にも $\{A_\lambda:\lambda\in\Lambda\}$ のサブセットの $X$。仮定$f$ 単射であり、 $x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]$。次にそれぞれについて$\lambda\in\Lambda$ あります $a_\lambda\in A_\lambda$ そのような $x=f(a_\lambda)$。修正$\lambda_0\in\Lambda$; 以来$f$ 単射です、 $a_\lambda=a_{\lambda_0}$ それぞれについて $\lambda\in\Lambda$、そう $a_{\lambda_0}\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda$、および $x=f(a_{\lambda_0})\in f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$。したがって、

$$\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\subseteq f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]$$

それゆえ

$$f\left[\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_\lambda\right]=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}f[A_\lambda]\,.$$

今それを仮定します $f$単射ではありません。それからあります$x,y\in X$ そのような $x\ne y$、および $f(x)=f(y)$。しましょう$A_0=\{x\}$ そして $A_1=\{y\}$; その後