それをどのように示すのですか ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ 絶対収束ではありませんか?

Dec 31 2020

これは、楕円関数の章のShakarchiとSteinによる複素解析からのものです。

それをどのように示すのですか ${\sum}_{w\in\wedge}\frac{1}{(z+w)^2}$ 絶対収束ではありません。 $\wedge$複素平面の二重格子は何ですか?複雑な無限和の絶対収束を示すのは難しいようです。このシリーズをバインドして実際のシリーズの事実を利用できるかもしれませんが、方法がわかりません。

回答

3 Conrad Dec 31 2020 at 08:27

回転により、格子は次のようになります。 $m+n\tau, \tau=a+ib, b>0$ と私たちが想定できるwlog $a \ge 0$ それ以外の場合は使用します $n <0$ 以下では。

修正 $z=x+iy$、 そう $|z+m+na+inb|^2=(m+na+x)^2+(nb+y)^2$

その後、 $Nb>|y|$、 我々が得る $(nb+y)^2<4b^2n^2, n \ge N$

同様に $M>0, M+Na >|x|$ 意味する $(m+na+x)^2<4(m+na)^2, m \ge M, n \ge N$

この意味は $\frac{1}{|z+m+na|^2} \ge \frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}, m \ge M, n \ge N$

しかし今、それらの用語だけを合計し、その合計を呼び出す $S$ 私たちはそれを得る:

$S \ge \sum_{m \ge M, n \ge N}\frac{1}{4b^2n^2+4(m+na)^2}$

これを使用すると、正の数の2つの系列を自由に交換できます(有限または無限の同じ結果が得られます)。 $m$)固定用 $n \ge N$

$\sum_{m \ge M}\frac{1}{b^2n^2+(m+na)^2} \ge \int_{M+1}^{\infty}\frac{dt}{b^2n^2+(t+na)^2}=$

$=\frac{1}{bn} \tan^{-1}(\frac{t+na}{nb})|_{t=M+1}^{t=\infty}=\frac{1}{bn}(\pi/2-\tan^{-1}(\frac{M+1+na}{nb})) \ge \frac{1}{bn}(\pi/2-c) =A/n, n \ge N$

どこ $c=\tan^{-1}(\frac{M+1+Na}{Nb})$ なので $\frac{M+1+na}{nb} \le \frac{M+1+Na}{Nb}, n \ge N$ そしてアークタンジェントは増加しています

しかし、これは $S \ge \sum_{n \ge N}\frac{A}{4n}=\infty$ したがって、ラティスサブセットの絶対値の2つのシリーズはすでに無限大であり、これで完了です。