それを示す $U_1 \oplus U_2=V$

Question

しましょう $V=\mathbb{R}^\mathbb{R}$ である $\mathbb{R} $ からのすべてのマッピングのベクトル空間 $\mathbb{R}$ に $\mathbb{R}$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

$$U_1=\{f \in V:f(-x)=-f(x), \forall x \in\mathbb{R} \}$$

それを示す $U_1 \oplus U_2=V$。

誰かがそれを始める方法について私にヒントを与えることができますか？

私の最初のアイデアはそれを示すことでした $U_1 \cap U_2 = {0}$ そして $\dim_\mathbb{R}(U_1)+\dim_\mathbb{R}(U_2)=\dim_\mathbb{R}(V)$

Answer 1

$U_1\cap U_2=\{0\}$簡単で、私はあなたにそれを処理させます。2番目のプロパティには、次の事実を使用します。$f=g+h$ どこ $g(x)=\frac {f(x)+f(-x)} 2$ そして $h(x)=\frac {f(x)-f(-x)} 2$

Answer 2

$f(x)={1\over 2}(f(x)+f(-x))+{1\over 2}(f(x)-f(-x))$

Answer 3

ヒント：すべての関数は、奇数関数と偶数関数の合計として記述できます。例：任意の$g\in V$、 ご了承ください $g(x) =Even +Odd=\frac{g(x) +g(-x)} {2}+\frac{g(x)-g(-x)}{2}\in U_1+U_2$。
ために$U_1\cap U_2$、奇数と偶数の両方の関数について考えてください！