Spivakの微積分5-15-vi $\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2(x)+2x}{x+x^2}$

Question

以下の観点から評価してください $\alpha = \displaystyle \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}:$

$$\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^2 (x)+2x}{x+x^2}$$

私はこれで立ち往生しています。使ってみました$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ に続く $\cos^2(x)=1 - \sin^2(x)$ の観点からすべてを取得するには $x$ そして $\sin$。それから私は$x$ そして $\cos$ （以来 $\cos$分母にあります）。部分分数も試しました。助けて。

Answer 1

あなたは書くことができます $$\frac{\tan^2 x + 2x}{x + x^2} = \frac{\tan^2 x + 2x}{x(x+1)} = \frac{\dfrac{\sin x}{x} \cdot\dfrac{\sin x}{\cos^2 x} + 2}{x+1}$$ 制限法を使用して制限を取得します $$\frac{\alpha \cdot 0 + 2}{1}$$

Answer 2

与えられた、

$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}$ 、

今取っています $"x"$ 分子と分母から共通、

我々が得る、

$$\frac{\tan^2 x+2x}{x+x^2}=\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}$$

みなさんご存じのとおり、 $Lim_{x\to0}\frac{tanx}{x}=1$

そう、

$$Lim_{x\to0}\frac{\tan(x)\frac{\tan(x)}{x}+2}{1+x}=\frac{0\cdot1 +2}{1+0}=2$$

Answer 3

以来 $\displaystyle \lim_{x\to 0} \cos x=1$、 我々は持っています $\displaystyle \lim_{x\to 0} \frac{\tan x}x=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}x=\alpha$、すなわち $\tan x=\alpha x+o(x)$。

そう $\tan^2 x=\alpha^2 x^2+o(x^2)$、および $\tan^2 x+2x=2x+o(x)=x(2+o(1))$。

次に $\frac{ \tan^2 x+2x}{x(1+x)}=\frac{2+o(1)}{1+x}$ と限界として $x\to 0$ は2です。